最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時22分35秒
代数的整数論(601-700)
元スレ： http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231/601-700
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1126510231/601-700
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601 ：１３２人目の素数さん：2005/10/28(金) 16:45:14
南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏
602 ：208：2005/10/28(金) 16:55:49
あれ、知らなかったの？ おいおい、それは甘すぎだよ。 俺は慈善事業やってるわけじゃない。 だけど、俺が得して諸君も得する。こなにいいことないだろ。
603 ：１３２人目の素数さん：2005/10/28(金) 17:12:42
御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏
604 ：１３２人目の素数さん：2005/10/28(金) 21:37:55
色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空
605 ：１３２人目の素数さん：2005/10/29(土) 08:39:45
PaiPPPPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiaiPaiPaiPaiPaiPaiaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiai
606 ：１３２人目の素数さん：2005/10/29(土) 08:40:27
（＾ω＾）⊃ ｱｳﾄ!!! （⊃ ） ／ ヽ
⊂（ ＾ω＾）⊃ ｾｰﾌ!!! （ ） ／ ヽ
（ ＾ω＾） ヨヨイの!! （⊃⊂ ） ／ ヽ
⊂⌒ヽ (⌒⊃ ＼ ＼ ／⌒ヽ / / ⊂二二二（ ＾ω＾）ニニ二⊃ ＼ ＼_∩_／ ／ （ (::)(::) ） ヽ＿,*､＿ノ ﾌﾞｰﾝ ／／／ ／／／
607 ：208：2005/10/31(月) 09:56:27
Cohen-Seidenbergの第２定理(いわゆるGoing-down定理)に関連して、 無限次ガロワ拡大について述べる。これは数論においても重要である。 位相群の初歩については既知と仮定する。
命題 G を群、S を G の正規部分群の集合で以下の条件(F)を満たすものとする。
(F) N_1, N_2 ∈ S なら N_1 ∩ N_2 ⊃ N_3 となる N_3 ∈ S がある。
x ∈ G に対して、{xN; N ∈ S} を x の基本近傍系と定義することにより、
G は位相群となる。
証明 G の部分集合 U が以下の性質(O)を満たすとき、G の開部分集合と 定義する。
(O) x ∈ U なら xN ⊂ U となる N ∈ S が存在する。
G の開部分集合全体が位相を定めることは、条件 (*) より明らか。
y ∈ xN なら、yN = xN だから xN は開部分集合である。
よって、{xN; N ∈ S} は x の基本近傍系となる。
S の元 N は正規部分群だから、任意の x ∈ G に対して xN = Nx となることに注意する。よって、 x, y ∈ G, N ∈ S に対して、(xN)(yN) = xyNN = xyN となる。 これから、G の積算法が定める写像 G x G → G は連続である。 (xN)^(-1) = Nx^(-1) = x^(-1)N だから、 x に その逆元 x^(-1) を対応させる写像 G → G も連続である。 よって G はこの位相により位相群となる。 証明終
608 ：208：2005/10/31(月) 10:09:51
命題
>>607 で定義された G の位相がハウスドルフであるためには、
∩{N; N ∈ S} = {e} が必要十分である。ここで e は G の単位元。
証明
{e} の閉包が ∩{N; N ∈ S} となることに注意すればよい。
609 ：208：2005/10/31(月) 10:24:26
命題
f, g: X → Y を位相空間 X から Y への２個の連続写像とする。
Y がハウスドルフなら、X の部分集合 E = {x ∈ X; f(x) = g(x)}
は閉集合である。
証明
Y x Y の対角集合をΔとする。つまり、Δ = {(y, y); y ∈ Y} とする。
Y はハウスドルフだから、Δ は Y x Y の閉集合である。
h(x) = (f(x), g(x)) により、写像 h: X → Y x Y を 定義する。
これが連続なことは明らか。E = h^(-1)(Δ) だから、
E は閉である。
証明終
610 ：208：2005/10/31(月) 10:33:12
命題 I を前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。 各 X_i がハウスドルフなら、射影極限 proj.lim X_i は 直積空間 X = ΠX_i の閉集合である。
証明
pr_i: X → X_i を射影とする。
i ≦ j に対して E_(i,j) = { x ∈ X; pr_i(x) = f_(i,j)pr_j(x) }
と定義する。f_(i,j): X_j → X_i は射影系(X_i)を定義する射である。
E_(i,j) は命題(>>609)より X の閉集合である。
proj.lim X_i は i ≦ j を任意に変化させたときの E_(i,j) の
共通集合だから閉である。
証明終
611 ：１３２人目の素数さん：2005/10/31(月) 14:56:00
Gを代数的数を成分にもつGL(n,C)の有限生成部分群とする。 このときある自然数kがあり、任意のGの元gに対し g^kの成分が代数的整数になる。
上記のことは成り立つでしょうか？知っている方がいたら 教えて下さい。
612 ：208：2005/10/31(月) 15:08:55
>>611
少なくとも n = 1 のときは成り立たないけど。 例えば 1/2 で生成されるGL(1,C)の部分群。1/2 を何乗しても整数にならない。
613 ：１３２人目の素数さん：2005/10/31(月) 15:47:43
ASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASAS
614 ：１３２人目の素数さん：2005/10/31(月) 15:54:32
>>612 有理整数でなく代数的整数だから， 2x-1=0⇒x=1/2 でOKなのでは？？
615 ：208：2005/10/31(月) 16:23:50
>>614
1/2 は代数的整数じゃない。後でやるけど、有理整数環 Z は整閉 だから、有理数で代数的整数であるものは有理整数しかない。
616 ：611：2005/10/31(月) 16:34:47
>>612 確かに…すぐに思いつかなかったのがなさけない…orz 何か適当な（例えば位相的な）条件を追加して 成り立つようにできないでしょうか？
617 ：208：2005/10/31(月) 16:50:23
>>616
今、無限次ガロワ拡大について書くのに忙しいんで、これ以上 相手出来ない。悪いが．．．
618 ：１３２人目の素数さん：2005/10/31(月) 17:18:47
無限次ガロワ拡大 is full!!!!!!!!!!!1
619 ：611：2005/10/31(月) 20:29:28
すみません。正しい主張は、
Gを代数的数を成分にもつGL(n,C)の有限生成部分群とする。
このときGの有限の生成系{g_i}に対しある自然数kがあり、
kg_iの成分が代数的整数になる。
でした。これじゃ説明省いて使うよな…
620 ：208：2005/11/01(火) 10:11:07
命題 I を有向前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。 射影極限 proj.lim X_i を X とおく。f_i: X → X_i を標準射とする。 X の任意の開集合は、(f_i)^(-1)(U) の形の開集合の合併である。 ここに、 i は I の要素を動き、U は X_i の開集合を動く。
証明 X は直積空間 ΠX_i の部分空間であるから、 X の開集合 U は、f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r) の形の開集合の合併である。ここで、i_1, ... , i_r は I の要素で あり、 U_k は X_i_k の開集合である。 x を U の任意の点とし、 x ∈ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r) とする。 I は有向前順序集合だから、i_1 ≦ j, ... i_r ≦ j となる j がある。 V_k = f_(i_k, j)^(-1)(U_k) とおく。 ここで、f_(i_k, j) : X_j → X_i_k は射影系を定義する射。 f_(i_k, j) は連続だから、V_k は X_j の開集合である。 (f_j)^(-1)(V_k) ⊂ f_(i_k)^(-1)(U_k) だから、 V = V_1 ∩ ... ∩ V_r とおけば、 (f_j)^(-1)(V) ⊂ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r) となる。x ∈ (f_j)^(-1)(V) だから、命題の主張が出る。 証明終
621 ：208：2005/11/01(火) 10:24:29
>>607 において、各 N ∈ S に対して G/N に離散位相を入れる。 N_1, N_2 ∈ S で N_1 ⊃ N_2 のとき N_1 ≦ N_2 と定義して、 S に順序を入れる。N_1 ≦ N_2 のとき、G/N_2 → G/N_1 が自然に 定義される。よって S を添字集合として、(G/N), N ∈ S は 離散位相群からなる射影系となる。よって、proj.lim G/N が定義 される。 各N ∈ S は開集合だから、標準射 G → G/N は連続である。 さらに、この射は、射影系(G/N)と両立するから、 連続写像 f: G → proj.lim G/N が自然に定義される。 このとき、f(G) は、proj.lim G/N において稠密である。
証明 proj.lim G/N から G/N への標準射を f_N とする。 (f_N)f : G → G/N は標準射である。したがって、全射である。 これと、>>620 からわかる。 証明終
622 ：208：2005/11/01(火) 10:45:34
命題 >>621 において f: G → proj.lim G/N は G から f(G) への全射を 引き起こすが、これは開写像である (f(G)には proj.lim G/N の部分位相をいれておく）。
証明
G の単位元の基本開近傍の像が f(G) の単位元の開近傍であることを
示せばよい。proj.lim G/N から G/N への標準射を f_N とし、
e を G/N の単位元とする。
f(G) ∩ (f_N)^(-1)(e) = f(N) である。G/N の位相は離散だから{e}
は、開集合である。よって、(f_N)^(-1)(e) も開集合である。
証明終
623 ：208：2005/11/01(火) 11:22:15
k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。 K の k-自己同型のなす群を Aut(K/k) と書く。 G = Aut(K/k) とおく。 K/k の中間体 L/k で有限次準ガロワ拡大となるものを考える。 G の元を L に制限することにより、群の射 G → Aut(L/k) が得られる。 これは、全射である。この核を G(L) と書く。G(L) は G の正規部分群 である。このような G(L) の全体は、>>607 の条件 (F) を満たす。 よって、G は >>607 により位相群となる。
命題 G はコンパクトである。
証明 >>621 より連続写像 f: G → proj.lim G/G(L) が定義される。 Ker(f) = ∩G(L) だが、これは明らかに G の単位元のみからなる。 よって、f は単射。G/G(L) = Aut(L/k) とみなされるから、 proj.lim G/G(L) の元 (σ_L)は、各 L/k にその自己同型 σ_L を引き起こし、L ⊃ L' のときは σ_L' は σ_L の制限となっている。 K はこのような L の合併集合であるから、(σ_L)は G のある元σ から引き起こされる。よって、f: G → proj.lim G/G(L) は全射である。 G/G(L) は有限群だから、離散位相でコンパクトである。 よってその直積 ΠG/G(L) もコンパクト。 proj.lim G/G(L) は、>>610より閉集合だから、proj.lim G/G(L) も コンパクトである。f は、>>622 より開写像であるから、 G は、proj.lim G/G(L) と位相同型である。 よって、G もコンパクトである。 証明終
624 ：208：2005/11/01(火) 12:20:39
k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。 G = Aut(K/k) とおく。 一般に、K/k の中間体 L/k に対して、K/L は準ガロワ拡大である。 Aut(K/L) を G(L) と書く。G(L) ⊂ G とみなすことにする。 特に、K/k の中間体 L/k で有限次拡大となるものを考える。 L を含むK/k の中間体 L'/k で、有限次準ガロワ拡大となるものがある。 例えば、L/k のすべての共役体で生成される体をとればよい。 G(L) ⊃ G(L') であるから、G(L) も G の単位元の近傍となる。
x_1, ..., x_n を K の元とする。G の元σ に対して
U(σ; x_1, ... , x_n) =
{τ ∈ G; σ(x_1) = τ(x_1), ... , σ(x_n) = τ(x_n)}
とおく。容易にわかるように U(σ; x_1, ... , x_n) は σ の開近傍
であり、x_1, ..., x_n を変化させると、σ の基本開近傍系が得られる。
さて、K から K への集合としての写像全体からなる集合を K^K と書く。 K^K は K を添字集合とする直積集合とみなせる。 K に離散位相を入れ、K^K に直積位相を入れる。 G の位相は、この K^K の部分空間としての位相をいれたものに 他ならない。
625 ：１３２人目の素数さん：2005/11/01(火) 12:41:14
What is 準ガロワ拡大?
626 ：208：2005/11/01(火) 13:05:17
>>625
>k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。 って書いてあったら普通、>>586 に準ガロワ拡大の説明があるだろう。
わからない用語が出てきたら、このスレ全体をテキストファイルにコピーして その用語で検索すればいい。前のほうに説明があるはず。
627 ：208：2005/11/01(火) 13:17:54
命題 k を体、K/k を k の準ガロワ拡大とし、L を K/k の中間体とする。 G = Aut(K/k), G(L) = Aut(K/L) とする。 G(L) は G の閉部分群である。
証明 L/k が有限次のときは、G(L) は G の開部分群であるから、 閉部分群でもある。L が有限次でないときは、L は有限次拡大 L_i/k の合併集合となる。G(L) = ∩G(L_i) で、各 G(L_i) は閉だから、 G(L) も閉である。 証明終
628 ：208：2005/11/01(火) 13:25:52
>>627 から有限次ガロワ拡大の基本定理は、無条件では無限次の ガロワ拡大に拡張出来ないことがわかる。 つまり、G の閉でない部分群 H は K/k の中間体 L をどんなに とっても H = G(L) とならない。
629 ：１３２人目の素数さん：2005/11/01(火) 14:31:26
ASASASASASASASASASASASASASAASASASASASASASASASASASASASAASASASASASASASASASASASASASA
630 ：１３２人目の素数さん：2005/11/01(火) 15:48:29
>>625
Sorry, i was a bit stupid.....
631 ：208：2005/11/01(火) 16:23:45
命題
k を体、K/k を k のガロワ拡大、つまり準ガロワで分離的な拡大とし、
G = Aut(K/k) とする。H を G の部分群とする。
K^H = {x ∈ K; 各σ∈H で、σ(x) = x } とおく。
つまり、K^H は H で固定化される K の部分体である。
G(K^H) すなわち Aut(K/K^H) は H の閉包である。
証明 H の閉包を cl(H) とする。 H ⊂ G(K^H) は明らかである。G(K^H) は G の閉部分群である(>>627) から、cl(H) ⊂ G(K^H) である。よって、σ∈G(K^H) の任意の近傍が H の元を含むことを示せばよい。L/k を K の中間体で有限次ガロワ拡大 となるものとする。M を L と K^H の合成部分体、すなわち K の部分体で L と K^H を含む最小のものとする。M/K^H は有限次ガロワ拡大である。 H の元を M に制限することにより射 φ: H → Aut(M/K^H) が得られる。 φ(H) で固定される M の部分体は、K^H である。 よって有限次ガロワ拡大の基本定理より、φ(H) = Aut(M/K^H) である。 つまり、φ は全射である。 σ∈G(K^H) の M への制限をσ|M とすれば、σ|M は Aut(M/K^H) の元であるから、σ|M = φ(τ) となる τ∈ H がある。 L ⊂ M であるから、σ|L = τ|L となる。これは、τ∈σG(L) を 意味する。σG(L) はσの基本開近傍だから cl(H) = G(K^H) である。 証明終
632 ：208：2005/11/01(火) 16:52:43
命題 k を体、K/k を k のガロワ拡大とし、L/k をその任意の中間体とする。 G(L) すなわち Aut(K/L) で固定される体 は L である。 すなわち、K^G(L) = L である。
証明 K/L はガロワ拡大であり、特に分離拡大である。 x を K の元で L に含まれないものとする。x は L 上分離的だから x の L に関する共役元 y で x と異なるものがある。 x を y に写す Aut(K/L) の元が存在する。 これは、K^G(L) = L を意味する。 証明終
633 ：208：2005/11/01(火) 17:04:48
無限次ガロワ拡大体の基本定理
k を体、K/k を k のガロワ拡大とする。 G = Aut(K/k) とおく。 L/k をその任意の中間体とする。L に G(L) を対応させることにより、 K/k の中間体と G の閉部分群の間に１対１の対応がつく。 この逆対応は、G の閉部分群 H に対して、H で固定される部分体 K^H を対応させるものである。
証明 >>632 より K^G(L) = L であり、>>631 より G(K^H) = H である。 証明終
634 ：208：2005/11/02(水) 09:52:53
環の整拡大の話題に戻ろう。
補題 A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。 p_0 ⊂ p_1 を A の長さ１の素イデアル鎖(>>379)とする。 q_0 を p_0 の上にある B の素イデアルとする。 B の長さ１の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 で q_1 が p_1 の上にあるものが存在する。
証明 A/p_0 ⊂ B/q_0 とみなせる。>>520 の定理(Cohen-Seidenberg) より、p_1/p_0 の上にある B/q_0 の素イデアル q_1/q_0 がある。 p_1/p_0 ≠ 0 だから q_1/q_0 ≠ 0 証明終
635 ：208：2005/11/02(水) 09:54:27
命題 A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。 p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。 q_0 を p_0 の上にある B の素イデアルとする。 B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で 各 q_i が p_i の上にあるものが存在する。
証明 >>634 に帰納法を使う。 証明終
636 ：208：2005/11/02(水) 09:58:17
命題 A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n を B の素イデアル鎖(>>379)とする。 各 i で p_i = A ∩ q_i とおく。 p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n は A の素イデアル鎖である。
証明 >>574 より明らか。
637 ：208：2005/11/02(水) 10:01:08
命題 A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。 dim A = dim B である(dim A の定義は、>>379 にある)。
証明 >>635 と >>636 より明らか。
638 ：208：2005/11/02(水) 10:05:24
命題 A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。 q を B の素イデアルとする。 ht(q) ≦ ht(A ∩ q) である。
証明 >>636 より明らか。
639 ：１３２人目の素数さん：2005/11/02(水) 10:55:54
命題 A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次準ガロワ拡大(>>586) とする。B を A の L における整閉包(>>576)とする。 p を A の素イデアル、q_1, q_2 を p の上にある B の素イデアルと すると、σ(q_1) = q_2 となる σ∈ Aut(L/K) がある。
証明 x ∈ q_1 とする。y = Πσ(x) とおく。ここで、積は Aut(L/K) の すべての元σを動くものとする。y は Aut(L/K) の元で不変だから、 y^q ∈ K となる整数 q がある。ただし、q は、L/K が分離的なときは 1 であり、そうでないときは、K の標数 p の適当なベキである。 y^q ∈ K ∩ B であり、A は整閉だから、A = K ∩ B となる。 よって、y^q ∈ A となる。一方、明らかに y^q ∈ q_1 だから、 y^q ∈ p となる。p ⊂ q_2 であるから、y^q ∈ q_2 となる。 これから、ある σ(x) ∈ q_2 となる。よって、x ∈ σ^(-1)(q_2) となる。以上から、q_1 ⊂ ∪σ^(-1)(q_2) となる。ここでσは Aut(L/K) のすべての元σを動く。よって、>>579 より q_1 ⊂ σ^(-1)(q_2) となるσがある。σ^(-1)(q_2) は、p の上にあるから、 >>574 より q_1 = σ^(-1)(q_2) である。 証明終
640 ：208：2005/11/02(水) 11:26:58
>>639 の命題は L/K が有限次でなくても成立つ。
命題 A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次とは限らない 準ガロワ拡大(>>586)とする。 B を A の L における整閉包(>>576)とする。 p を A の素イデアル、q_1, q_2 を p の上にある B の素イデアルと すると、σ(q_1) = q_2 となる σ∈ Aut(L/K) がある。
証明
M を L/K の中間体で、M/K が有限次準ガロワ拡大とする。
S をこのような M の集合とする。
M ∈ S に対して
F(M) = {σ∈ Aut(L/K); σ(q_1 ∩ M) = q_2 ∩ M} とおく。
σ∈ Aut(L/K) を M に制限することにより、
連続写像 Aut(L/K) → Aut(M/K) が得られる。
F(M) は、この写像による、離散群 Aut(M/K) のある部分集合の逆像だから
閉集合である。一方、>>639 よりこれは空ではない。
M, M' ∈ S のとき、F(M) ∩ F(M') ⊃ F(M(M')) となる。
ここで、M(M') は M と M' から生成される L の部分体で
M(M') ∈ S である。
Aut(L/K) は >>623 よりコンパクトだから、∩F(M) は空でない。
L は M ∈ S の合併集合となるから、σ ∈ ∩F(M) が求めるものである。
証明終
641 ：208：2005/11/02(水) 11:42:11
補題 A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次とは限らない 準ガロワ拡大(>>586)とする。 B を A の L における整閉包(>>576)とする。 p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。 q_n を p_n の上にある B の素イデアルとする。 このとき、B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で p_i = A ∩ q_i が各 i で成立つものがある。
証明 >>635 より、p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n の上にある、 B の素イデアル鎖 r_0 ⊂ r_1 ⊂ ... ⊂ r_n がある。 >>640 より、σ(r_n) = q_n となる σ∈ Aut(L/K) がある。 q_i = σ(r_i) とおけばよい。 証明終
642 ：208：2005/11/02(水) 11:55:42
定理(Going-down定理) A を整閉整域(>>578)、A ⊂ B を整域の包含関係、B は A 上整とする。 p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。 q_n を p_n の上にある B の素イデアルとする。 このとき、B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で p_i = A ∩ q_i が各 i で成立つものがある。
証明 K を A の商体、L を B の商体とする。B は A 上整だから、 L/K は代数拡大である。M/K を L/K を含む準ガロワ拡大とする。 C を M における B の整閉包とする。C は A の整閉包でもある(>>511)。 q_n の上にある C の素イデアル r_n が存在する(>>520)。 >>641 より、C の素イデアル鎖 r_0 ⊂ r_1 ⊂ ... ⊂ r_n で p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n の上に あるものがある。q_i = B ∩ r_i とおけばよい。 証明終
643 ：208：2005/11/02(水) 12:00:41
命題 A を整閉整域(>>578)、A ⊂ B を整域の包含関係、B は A 上整とする。 q を B の素イデアルとする。 ht(A ∩ q) = ht(q) となる。
証明 >>638 と >>642 から明らか。
644 ：208：2005/11/02(水) 12:58:37
整閉整域については、他にも基本的な事項があるけど後回しにする。 次に離散付値環について述べるが、その前に単項イデアル整域に ついて基本的なことを述べる。
定義 整域 A において、そのイデアルが常に単項となるとき 単項イデアル整域と呼ぶ。
この定義によると体も単項イデアル整域になるが、 このスレでは特に断らない限り、単項イデアル整域というとき 体でないものを意味するものとする。
645 ：208：2005/11/02(水) 13:02:02
定義 (体でない)単項イデアル整域で局所環であるものを離散付値環と呼ぶ。
646 ：208：2005/11/02(水) 13:19:49
定義 単項イデアル整域 A において極大イデアルを生成する元を素元とよぶ。
647 ：208：2005/11/02(水) 13:21:21
次の命題は、代数の初歩でよく知られているので、ここでは証明しない。
命題 単項イデアル整域においては、任意の０でない元が素元の積に 可逆元(単元)を除いて一意に分解される。
648 ：208：2005/11/02(水) 14:44:55
定義 A を環、 0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。 N → M の像が M の直和因子となるとき、この完全列は分解(split) するという。
命題 A を環、 0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。 これが分解するためには、f: M → L のとき、 A-加群の射 s: L → M で fs = 1 となるものがあることが 必要十分である。
証明 各自に任せる。
649 ：208：2005/11/02(水) 14:51:33
命題 A を環、 0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。 L が自由加群なら、この完全列は分解する。
証明 >>648より明らか。
650 ：208：2005/11/02(水) 15:11:28
命題 A を単項イデアル整域、L を A 上の有限階数 n の自由加群とする。 L の部分加群は、階数 ≦ n の自由加群である。
証明 n に関する帰納法。 e_1, ... , e_n を L の基底とする。 p_n : L → A を e_n に関する射影とする。 q: M → A を p_n の M への制限とする。 q(M) は A のイデアルだから単項であり、A は整域だから このイデアルは A-加群として自由である。 Ker(q) = N とおく。 0 → N → M → q(M) → 0 は完全である。 N ⊂ Ae_1 + ... + Ae_(n-1) だから帰納法の仮定より、 階数 ≦ n-1 の自由加群である。 q(M) は自由だから、>>649 よりこの完全列は分解する。 よって、M は自由である。q(M) の階数 ≦ 1 だから、 M の階数 ≦ n である。 証明終
651 ：208：2005/11/02(水) 15:36:53
>>650
q(M) = 0 のときは、q(M) は自由加群ではないが、この場合、 N = M となって自明。
652 ：208：2005/11/02(水) 16:26:24
定義 A を整域、M を A-加群とする。 x ∈ M が捩れ元であるとは、A の元 a ≠ 0 があり ax = 0 となることである。
M のすべての元が捩れ元であるとき、M を捩れ加群(torsion module)という。 M の捩れ元が 0 以外にないとき M を捩れのない(torsion-free)加群という。
653 ：208：2005/11/02(水) 16:34:09
定義 A を整域、M を A-加群とする。 M の捩れ元全体は、部分加群となる。 これを、M の捩れ部分とよび、t(M) と書く。
A の商体を K としたとき、S = A - {0} は積閉集合であり、
M(x)K は M の S による局所化とみなされる。
標準射 : M → M(x)K の核は t(M) に他ならない。
よって、
0 → t(M) → M → M(x)K
は完全である。
654 ：１３２人目の素数さん：2005/11/02(水) 16:51:21
ASASASASASASASASASASASASAS ASASASASASASASASASASASASAS ASASASASASASASASASASASASAS ASASASASASASASASASASASASAS
655 ：208：2005/11/02(水) 17:01:32
命題 A を単項イデアル整域、M を A 上の有限生成かつ捩れのない加群 とする。このときM は自由加群である。
証明 M は捩れがないから、A の商体を K としたとき、 標準射: M → M(x)K は単射となる。よって、M ⊂ M(x)K とみなす。 M(x)K は、K-加群として M の元で生成されるから、 M の有限個の元からなる(K-加群としての)基底をもつ。 これらを、x_1, ... , x_n とする。 一方、M の A-加群としての生成元を、y_1, ... , y_m とする。 各 y_i は y_i = Σα(i,j)x_j, α(i,j) ∈ K と表される。 よって、a(y_i) ∈ Ax_1 + ... + Ax_n が全ての i で成立つような a ∈ A, a ≠ 0 がある。L = Ax_1 + ... + Ax_n とおくと、 L は A-自由加群であり、aM ⊂ L となる。よって、M ⊂ (1/a)L となる。(1/a)L も自由であるから、>>650 より M も自由である。 証明終
656 ：208：2005/11/02(水) 17:09:39
命題 A を単項イデアル整域、M を A 上の有限生成加群とする。 M は、捩れ部分 t(M) と有限生成自由加群の直和となる。
証明 完全列 0 → t(M) → M → M/t(M) → 0 を考える。 M/t(M) は、明らかに捩れがない。これが有限生成であることは 明らか。よって、>>655 より自由加群である。 よって、>>649 よりこの完全列は分解する。 証明終
657 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 00:08:59
自由加群の部分群は自由であることはどうやって証明する？
658 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 04:59:10
自由加群の部分群は自由であることはどうやって証明する？
Use elementary divisors, since every abelian group is a $Z$-module.
659 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 06:29:28
?? 有限生成とは限らない場合だぞ。
660 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 09:29:43
あやまれ、ロリコンにあやまれ（AA略
661 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 09:36:50
>> ??有限生成とは限らない場合だぞ。
Perhaps take the direct limit...
662 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 11:33:27
Perhaps? and じゃないのか
663 ：１３２人目の素数さん：2005/11/03(木) 17:21:04
永田他「抽象代数幾何」のｐ２０８のZariskiMainTheoremの証明する過程での次の主張 「Bが整域、AをBの部分環、A[T]もBの部分環でTはA上超越的元。BはA[T]上整拡大。このとき、Bの任意の素イデアルｑはｐ＝A∩ｑ上孤立である。」 を証明するはじめの一行目の次の設定をして良い理由が分からない。
「ｑがｐ上極大なイデアルとして・・・」の仮定を設定して良い理由が分からない。 Raynauldの本でも全く同じ記述になっている。
だれかわかっている人がいたら教えてください。
664 ：208：2005/11/04(金) 09:29:24
>>663
q ∩ A[T] で局所化すればいいんでは？ つまり、p' = q ∩ A[T] とおいて、B_p' を考える。 そして、B を B_p' で置き換え、q を qB_p' で置き換える。 A は、当然 A_p に置き換える。
665 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 12:00:00
Perhaps? and じゃないのか
?????
666 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 13:20:55
「Bが整域、AをBの部分環、A[T]もBの部分環でTはA上超越的元。BはA[T]上整拡大。このとき、Bの任意の素イデアルｑはｐ＝A∩ｑ上孤立で 'ない’。」でした。
667 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 13:23:06
>>663の記入に誤り。正しくは>>666でした。
668 ：208：2005/11/04(金) 13:38:40
補題 A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。 a と b を A の元で互いに素とする。 x ∈ M で、abx = 0 なら、x = y + z, ay = 0, bz = 0 となる M の元 y, z がある。
証明 as + bt =1 となる A の元 s, t がある。 よって、x = asx + btx となる。 y = btx, z = asx とすればよい、。 証明終
669 ：208：2005/11/04(金) 15:03:26
命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
A の素元 p に対して M(p) = {x ∈ M; (p^n)x = 0 となる n > 0 がある}
とおく。M = ΣM(p) (直和) となる。ここで p は、Ann(M) を割る素元
全体を動く。
証明 まず、M は有限生成の捩れ加群だから、Ann(M) ≠ 0 である。 x ∈ M, x ≠ 0 とし、Ann(x) = aA とする。M は捩れ加群だから、 a ≠ 0 である。>>668 より x ∈ ΣM(p) となる。ここで p は a の素因子を渡る。あとは、Ann(M) ⊂ aA に注意すればよい。 証明終
670 ：208：2005/11/04(金) 15:08:43
命題 A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。 Supp(M) は、極大イデアルのみからなる。
証明 Supp(M) = V(Ann(M)) と Ann(M) ≠ 0 より明らか。 証明終
671 ：208：2005/11/04(金) 15:12:58
命題 A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。 M は A-加群として長さ有限である。
証明 Ass(M) ⊂ Supp(M) (>>99) と >>670 と >>345 より。 証明終
672 ：208：2005/11/04(金) 15:20:40
定義 A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。 >>671 より M は長さ有限である。 M の組成列に現れる剰余加群は、A/p と同型である。 ここで、p は A のある極大イデアル。 M の組成列に現れる極大イデアルを重複度もいれて p_1, ..., p_r としたとき それらの重複を考慮した積 を M の内容(content)とよび、|M| と書く。
673 ：208：2005/11/04(金) 15:28:46
>>672 の記号 |M| は、私が勝手に決めたものであり、 一般的ではない。 Serreは χ(M) を使っている。
674 ：208：2005/11/04(金) 15:41:30
命題 A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。 N を M の部分加群とすると、 |M| = |N||M/N| となる。
証明 明らか。
675 ：208：2005/11/04(金) 15:53:07
命題 A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。 |M|M = 0 となる。つまり、|M| ⊂ Ann(M) となる。
証明 leng(M) に関する帰納法を使う。 M ≠ 0 とする。 M/N が A/p と同型になるような M の部分加群をとる。 ここで、p は A の極大イデアル。 |M/N| = p だから、帰納法の仮定より p(M/N) = 0 となる。 よって、pM ⊂ N となる。再び帰納法の仮定より |N|N = 0 となるから、p|N|M = 0 となる。 一方、>>674 より、p|N| = |M| である。 証明終
676 ：208：2005/11/04(金) 16:01:09
>>675 から Hamilton-Cayley の定理が出る。 これは、前に線形代数スレで書いた。
677 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 16:14:22
Omaewa erai!!!!!
678 ：208：2005/11/04(金) 16:32:38
命題 A を単項イデアル整域、I を A のイデアルとする。 |A/I| = I である。
証明 中国式剰余定理(>>341)より、I が極大イデアルのベキ p^n のときに 証明すればよい。しかし、この場合は明らか。 証明終
679 ：208：2005/11/04(金) 16:38:42
>>675 の別証
x ∈ M のとき、|M|x = 0 を示せばよい。 Ax は A/Ann(x) に同型である。よって、|Ax| = Ann(x)となる(>>678)。 よって、|Ax|x = 0 となる。 |M| = |Ax||M/Ax| だから(>>674)、当然 |M|x = 0 となる。 証明終
680 ：208：2005/11/04(金) 17:07:45
定義 A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の加群とする。 A のある素元 p があり、M の任意の元 x に対して (p^n)x = 0 となる整数 n > 0 があるとき、M を p-加群と呼ぶ。 ここで、n は x に依存する。p の生成する A の極大イデアル を (p) と したとき、M を (p)-加群とも呼ぶ。
681 ：208：2005/11/04(金) 17:20:08
定義 A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。 M の任意の元に x 対して Ann(x) = p^n となる整数 n ≧ 0 があるが、 この n を x の指数と呼ぶ。
(注意): この定義は、ここだけのものであり一般的ではない。
682 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 17:22:09
>>676 17 ：１３２人目の素数さん ：04/07/31 12:25 >>11-16 well known and trivial
683 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 17:47:25
おばかなおりそうもないね
684 ：208：2005/11/04(金) 17:57:04
命題 A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。 Ann(M) = p^n となる。ここで、n ≧ 0。
証明 定義より M は有限生成である。 M の生成元を x_1, ... , x_r とする。 (p^m)x_i = 0 がすべての x_i について成立つような m > 0 がある。 (p^m)M = 0 となるから、p^m ⊂ Ann(M) である。 これから、命題の主張は明らか。 証明終
685 ：208：2005/11/04(金) 18:16:24
>>683
ばかはお前だろ。>>682は線形代数のスレでカタがついてんだよ。 well known じゃないことは確か。Hamilton-Cayleyをtrivial というのは、度胸がいるだろ。
686 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 19:06:12
>>685 17 ：１３２人目の素数さん ：04/07/31 12:25 >>11-16 well known and trivial
687 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 19:38:16
>>686 まねするな馬鹿！ http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1090754133/17
688 ：１３２人目の素数さん：2005/11/04(金) 19:53:16
>>685 17 ：１３２人目の素数さん ：04/07/31 12:25 >>11-16 well known and trivial
689 ：208：2005/11/07(月) 09:58:44
補題 A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680) とする。 x を M の元でその指数 n が M の元のなかで最大のもの とする。N = Ax とおく。M/N はあきらかに p-加群である。 y を M の任意の元とする。y (mod N) の M/N における指数(>>681)を m とすると、M の元 z で、その指数が m となり、y = z (mod N) と なるものが存在する。
証明 まず、y の指数は m 以上だから m ≦ n に注意する。 (p^m)y = tx となる t ∈ A がある。 (p^n)y = (p^(n-m))tx = 0 であるから、 (p^(n-m))t = sp^n となる s ∈ A がある。 両辺を p^n で割ると、tp^(-m) = s よって、t = s(p^m) (p^m)y = tx だから、(p^m)y = s(p^m)x よって、(p^m)(y - sx) = 0 となる。 z = y - sx とおけばよい。 何故なら、z の指数が m より小さいとすると、 y (mod N) の指数も m より小さいことになって矛盾。 証明終
690 ：208：2005/11/07(月) 10:21:05
命題 A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680) とする。 M は、単項 p-加群つまり一個の元で生成される p-加群の直和となる。
証明 M は長さ有限(>>671)だから、leng(M) に関する帰納法を使う。 x を M の元で、その指数 n が M の元のなかで最大のものとする。 M の各元の指数は>>684より有界だから、このような元は存在する。 leng(M/Ax) < leng(M) だから、帰納法の仮定より、M/Ax は 単項 p-加群 の直和となる。これらの単項 p-加群の生成元を それぞれ y_1 (mod Ax), ... , y_r (mod Ax) とする。 補題(>>689) より、y_i の指数は、y_i (mod Ax) の指数と一致する としてよい。すると、M は Ax, A(y_1), ... , A(y_r) の直和となる。 何故なら、ax + (b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 とする。 ここで、a, b_1, ... , b_r は A の元。 (b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 (mod Ax) となるから、 各 b_i = 0 (mod p^(m_i))となる。ここで、m_i は y_i の指数。 よって、各 (b_i)(y_i) = 0 である。よって、ax = 0 となる。 これと、leng(M) = leng(Ax + A(y_1) + ... + A(y_r)) に注意 すれば、M = Ax + A(y_1) + ... + A(y_r) (直和)となる。 証明終
691 ：208：2005/11/07(月) 10:27:37
>>690 の証明は Burnside の有限群論にある有限アーベル群に対する 同様の命題の証明をやや修正して借りた。この証明をこのように 単項イデアル整域上の加群に適用した例を知らない。
692 ：208：2005/11/07(月) 10:52:49
単因子論を一般の単項イデアル整域上で満足のいく形で展開してる 本はBourbakiくらいしか知らない。もっとも現代の教科書を 全部チェックしたわけではないが。Langだったらやってるかも しれない。 大抵、有理整数環か多項式環またはせいせいユークリッド整域 しか扱ってないし、たまに単項イデアル整域を扱っていても、 詰めが甘かったりする。
693 ：208：2005/11/07(月) 10:59:23
Bourbakiにしたところで、具体的に与えられた行列を一般の単項イデアル整域上で 単因子の標準形に変形する方法については本文ではなくて演習問題に なってる。だけど、この演習問題はいい。この方法を思いついた人は偉い。
694 ：208：2005/11/07(月) 11:11:51
Van der Waerden によると >>690 から単因子論の基本定理、 つまり行列を単因子の対角行列に変形出来るという定理が 出るらしいけど、その方法を知らない。ちょっと考えたけど わからない。
695 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 12:22:44
>>692単因子論を一般の単項イデアル整域上で満足のいく形で展開してる
岩波基礎数学講座「環と加群」だったかにも書かれている。
696 ：208：2005/11/07(月) 13:37:47
>>695
Thanks. 岩波の現代数学概説Ｉにも載ってるのを忘れてた。 だけどこれはBourbakiとよく似ている。
697 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 14:18:54
おばかなおりそうもないね
698 ：208：2005/11/07(月) 15:17:49
現代数学概説Ｉは、単因子の単因子たる由来の命題(後で述べる)については 書いてない。行列の基本変形についても書いてない。 だから、これも満足のいくものじゃない。 これから、私がBourbakiを参考に単因子論を展開する。
699 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 15:24:35
もうすこしいろんなことべんきょうしてもらわねばなるまい
700 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 15:25:14
今日は暖かいね
