最終更新日時 2011年03月09日 (水) 21時21分13秒
代数的整数論 006 (541-600)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/541-600
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541 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 08:27:20
>>508 >q~q = (z~ - wj)(z + wj) >= |z|^2 - z~wj - wz~j - ww~jj >= |z|^2 +|w|^2 >= N(q) > >よって q と q~ は可換である。
これは次のように説明したほうが良い。
N(q) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 だから N(q~) = N(q)
qq~ = N(q) において q を q~ に置き換えると、
q~(q~)~ = q~q = N(q~) = N(q)
542 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 09:14:15
命題 K と L を可換とは限らない体とする。 φ と ψ をそれぞれ K と L の絶対値(>>414)とする。
>>421 より K と L は位相体である。
f: K → L を位相体としての同型とする。 即ち f は体の同型であり位相同型でもある。
このとき、ある実数 α ＞ 0 があり、φ(x) = (ψ(f(x)))^α が 全ての x ∈ K で成り立つ。
証明 φ_1(x) = ψ(f(x)) とおく。 明らかに φ_1 は絶対値である。
φ が自明(>>422)なら >>425 より ψ も自明である。 よって x ≠ 0 のとき f(x) ≠ 0 だから ψ(f(x)) = 1 である。 x = 0 なら f(x) = 0 だから ψ(f(x)) = 0 である。 よって φ(x) = ψ(f(x)) が全ての x ∈ K で成り立つ。 よって α = 1 として本命題の主張が成り立つ。
φ が自明でないとき。 φ(x) ＜ 1 なら n → ∞ のとき x^n → 0 である。 f は連続だから f(x^n) → 0 である。 f(x^n) = f(x)^n だから ψ(f(x)) ＜ 1 である。 よって >>430 より本命題の主張が成り立つ。 証明終
543 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 09:43:55
定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の絶対値(>>414)とする。
>>475 より K の完備化環 K^ は体であり、 φ を K^ に連続延長したもの φ^ は K^ の絶対値になる。
付値体(>>415) (K^, φ^) を付値体 (K, φ) の完備化と言う。 考えている絶対値 φ が明らかなときは、単に K^ を K の完備化とも 言う。
544 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 09:47:17
K を可換とは限らない体とする。 φ と ψ を K の同値な絶対値とする。 (K, φ) の完備化(>>543) K^ は位相体として (K, ψ) の完備化と 同じものである。 従って ψ を K^ に連続延長したもの ψ^ は φ^ と同値である。
545 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10:03:25
補題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス絶対値(>>448)とする。
K の元の列 (x_n) と K の元 x ≠ 0 があり n → ∞ のとき x_n → x なら ある n_0 ∈ Z+ があり n ≧ n_0 のとき φ(x_n) = φ(x) である。
証明 φ(x) ＞ 0 だから、ある n_0 ∈ Z+ があり n ≧ n_0 のとき φ(x - x_n) ＜ φ(x) である。
>>485 より φ(x_n) = φ(x_n - x + x) = sup(φ(x - x_n), φ(x)) = φ(x) 証明終
546 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10:09:45
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス絶対値(>>448)とする。
K^ を K の完備化(>>543)とし、φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。
φ と φ^ のそれぞれの値群は一致する。 即ち φ(K^*) = φ^((K^)^*)
証明 >>545 より明らかである。
547 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10:12:21
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値(>>483)とする。
K^ を K の完備化(>>543)とし、φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。
φ^ は K^ の離散的絶対値である。
証明 >>546 より明らかである。
548 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10:26:22
>>487 の A, m(A), A/m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアル、 剰余体と言う。
549 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10:44:39
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的(>>448)絶対値とする。 K^ を K の完備化(>>543)とし、φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。
φ の付値環(>>548) を A とする。
任意の実数 0 ＜ a ≦ 1 に対して
I_a = { x ∈ K ; φ(x) ＜ a }
J_a = { x ∈ K ; φ(x) ≦ a }
とおく。
>>487 より I_a と J_a は A の両側イデアルである。
このとき
cls(I_a) = { x ∈ K^ ; φ^(x) ＜ a } である。
ここで cls(I_a) は I_a の K^ における閉包である。
同様に
cls(J_a) = { x ∈ K^ ; φ^(x) ≦ a } である。
550 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10:45:11
>>549 の証明
x ∈ cls(I_a) - {0} とする。
φ^(x) ＞ 0 だから φ^(x - y) ＜ φ^(x) となる y ∈ I_a がある。
>>545 と同様に φ^(y) = φ^(x) である。
よって φ^(x) ＜ a である。
逆に x ≠ 0 で φ^(x) ＜ a とする。 φ^(x) ＞ 0 だから 任意の 0 ＜ ε ＜ φ^(x) に対して φ^(x - y) ＜ ε となる y ∈ K がある。 >>545 と同様に φ^(y) = φ^(x) である。 よって φ^(y) ＜ a である。 即ち y ∈ I_a である。 よって x ∈ cls(I_a) である。
以上から
cls(I_a) = { x ∈ K^ ; φ^(x) ＜ a } である。
cls(J_a) = { x ∈ K^ ; φ^(x) ≦ a } の証明も同様である。
証明終
551 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 10:51:36
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的(>>448)絶対値とする。 K^ を K の完備化(>>543)とし、φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。
A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。
cls(A), cls(m(A)) をそれぞれ A, m(A) の K^ における閉包とすると、 cls(A), cls(m(A)) はそれぞれ φ^ の付値環、極大イデアルである。
証明 >>549 において a = 1 とすれば A = J_1, m(A) = I_1 である。 従って本命題は >>549 の特別の場合である。
552 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 12:15:25
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値(>>483)とする。 A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。 A/m(A) が有限体なら 任意の有理整数 n ≧ 0 に対して A/m(A)^n は有限環である。
証明 >>506 より φ には K の実付値(>>496) ν が対応する。 ν は離散付値(>>497) である。 π を ν の素元(>>501)とする。 >>502 より m(A) = Aπ, m(A)^n = A(π^n) である。
A のアーベル群としての部分群の列を考える。
A ⊃ Aπ ⊃ . . . A(π^n) ⊃ . . .
x ∈ A に x(π^n) を対応させる写像は A/Aπ から A(π^n)/A(π^(n+1)) へのアーベル群としての同型を 引起こす。
従って A/A(π^n) は有限アーベル群である。 A/A(π^n) は環でもあるから有限環である。 証明終
553 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 12:22:21
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値(>>483)とする。 A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。
A/m(A) が有限体なら A は位相環として全有界(>>302)である。
証明 >>506 より φ には K の実付値(>>496) ν が対応する。 ν は離散付値(>>497) である。 π を ν の素元(>>501)とする。 >>502 より m(A) = Aπ, m(A)^n = A(π^n) である。
>>552 より 任意の有理整数 n ≧ 0 に対して A/A(π^n) は有限環である。
φ(π) ＜ 1 だから任意の ε ＞ 0 に対して φ(π)^n ＜ ε となる n ＞ 0 がある。
A/A(π^n) の任意の剰余類を a + A(π^n) とする。 ここで a ∈ A である。
a + A(π^n) の２元 u = a + x(π^n), v = a + y(π^n) に対して φ(u - v) = φ((x - y)(π^n)) ≦ φ(π)^n ＜ ε
即ち A/A(π^n) の剰余類の２元の距離は n を大きくすれば いくらでも小さくなる。 A の任意の元は A/A(π^n) の剰余類(それは有限個である)のどれか に含まれるから A は全有界である。 証明終
554 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 12:40:21
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値(>>483)とする。 K は φ で完備とする。 A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。
A/m(A) が有限体なら A はコンパクトであり、 K は局所コンパクトである。
証明 >>553 より A は全有界である。 A は K の閉集合だから >>250 より完備である。
従って >>316 より A は準コンパクトである。 A はハウスドルフだからコンパクトである。
m(A) は K の開集合で 0 を含む。 m(A) ⊂ A だから A は 0 のコンパクト近傍である。 従って K の任意の元 x に対して x + A は x のコンパクト近傍である。 即ち K は局所コンパクトである。 証明終
555 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 13:04:01
>>554 の条件を満たす体は数論では非常に重要である。 Weilの Basic Number Theory では、この体を p-field と 呼んでいる。
因みに、英語圏では field は可換体を意味するのが普通である。 可換とは限らない体は division ring と言う。
Weil はフランス人なのでこの点、英書にもかかわらず フランス風になっている。 フランスでは体のことを corps と言い、可換とは限らない。
しかし環は英語で ring だがこれは可換とは限らない。 この点で英語の field の用法は一貫性がないとも言える。
556 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 13:44:00
補題 G を位相群、H をその部分群とする。 U を G の単位元の近傍で U ⊂ H とする。 このとき H は G の開集合である。
証明 x ∈ H とすると Ux は x の近傍で Ux ⊂ H である。 よって H は G の開集合である。 証明終
557 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 13:45:00
命題 G を位相群、H をその開部分群とする。 H は G の閉集合である。
証明 G - H は xH の形の左剰余類 xH の和集合である。 xH は開集合であるから G - H も開集合である。 従って H は閉集合である。 証明終
558 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 13:54:00
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的(>>448)絶対値とする。
任意の実数 0 ＜ a ≦ 1 に対して
I_a = { x ∈ K ; φ(x) ＜ a }
J_a = { x ∈ K ; φ(x) ≦ a }
とおく。
I_a と J_a は K の加法群の開かつ閉部分群である。
証明 A を φ の付値環とする。 >>487 より I_a と J_a は A の両側イデアルである。 従って K の加法群の部分群である。
>>556 より I_a は K の開部分群である。 従って >>557 より K の閉部分群である。
I_a ⊂ J_a である。 従って >>556 より J_a は K の開部分群である。 従って >>557 より K の閉部分群である。 証明終
559 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 14:04:28
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の非アルキメデス的(>>448)絶対値とする。 K^ を K の完備化(>>543)とし、φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。
A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。
cls(A), cls(m(A)) をそれぞれ A, m(A) の K^ における閉包とすると、 cls(A) = A + cls(m(A)) となる。
よって cls(A)/cls(m(A)) は A/m(A) に体として標準的に同型である。
証明 x ∈ cls(A) とする。 φ^(x - y) ＜ 1 となる y ∈ A がある。 z = x - y とおくと z ∈ m(A) x = y + z ∈ A + m(A) よって cls(A) = A + cls(m(A)) である。
cls(A)/cls(m(A)) = (A + cls(m(A)))/cls(m(A)) は A/(A ∩ cls(m(A))) に標準的に同型である。
>>558 より m(A) は A の閉集合だから A ∩ cls(m(A)) = m(A) である。 証明終
560 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 14:22:48
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の離散的絶対値(>>483)とする。 A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。 A/m(A) は有限体とする。
K の完備化(>>543) K^ は局所コンパクトである。
証明 φ を K^ に連続延長した絶対値を φ^ とする。 >>547 より φ^ は K^ の離散的絶対値である。
>>551 より cls(A), cls(m(A)) をそれぞれ A, m(A) の K^ における閉包とすると、 cls(A), cls(m(A)) はそれぞれ φ^ の付値環、極大イデアルである。
>>559 より cls(A)/cls(m(A)) は A/m(A) に標準的に同型である。
よって >>554 より K^ は局所コンパクトである。 証明終
561 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 16:06:51
定義 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
E を K-左加群とする。
実数体を R とし、R の部分集合 { x ∈ R; x ≧ 0 } を R+ で表す。
K から R+ への写像 p が以下の条件を満たすとき p を E のノルムと言い、E をノルム空間と言う。
1) p(x) = 0 と x = 0 は同値である。
2) 任意の x ∈ E, y ∈ E に対して p(x + y) ≦ p(x) + p(y)
3) 任意の α ∈ K, x ∈ E に対して p(αx) = φ(x)p(x)
562 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 17:21:01
命題 K を可換とは限らない体とする。 φ を K の自明でない絶対値(>>414)とする。 E を K-左加群とし、p を E のノルム(>>561)とする。 E は K-位相加群(>>372)である。
証明 x, y を E の任意の元とする。 d(x, y) = p(x - y) は E の距離である。 この距離により E に一様構造(>>194)を入れる(>>199)。 x, y, u, v を E の任意の元とする。 任意の ε ＞ 0 に対して、 p(x - u) ＜ ε/2, p(y - v) ＜ ε/2 のとき p(x + y - (u + v)) ≦ p(x - a) + p(y - b) ＜ ε 従って写像 f(x, y) = x + y は E×E → E の連続写像である。
任意の ε ＞ 0 に対して、p(x - u) ＜ ε のとき p(-x - (-u)) = p(-(x - u)) = p(x - u) ＜ ε 従って写像 g(x) = -x は E → E の連続写像である。
α、β を K の元、x, y を E の元とする。 任意の ε ＞ 0 に対して、 δ ＞ 0 を δ ＜ min(1, ε/(1 + φ(β) + p(y))) とする。 δ ＜ 1 だから δ^2 ＜ δ ＜ ε/(1 + φ(β) + p(y))
p(α - β) ＜ δ, p(x - y) ＜ δ のとき p(αx - βy) = p((α - β)(x - y) + (α - β)y + β(x - y)) ≦ φ(α - β)p(x - y) + φ(α - β)p(y) + φ(β)p(x - y)| ≦ δ^2 + δp(y) + φ(β)δ ＜ δ(1 + φ(β) + p(y)) ＜ ε
従って写像 h(α, x) = αx は K×E → E の連続写像である。 証明終
563 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 17:34:45
C^n を n 次元の複素列ベクトル全体のなすベクトル空間とする。
x と y を C^n の２元とする。
(x, y) は (x^)y~ を表すとする。ここで x^ は x の転置行列、 y~ は y の各成分の複素共役を成分とするものとする。
(x, y) をエルミート内積または単に内積と言う。
|x| = |(x, x)| と書き、|x| を x のノルムと言う。
564 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 17:49:10
訂正
>>563 >|x| = |(x, x)| と書き、|x| を x のノルムと言う。
|x| = √((x, x)) と書き、|x| を x のノルムと言う。
565 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 17:49:49
命題(Cauchy-Schwartzの不等式) C^n を n 次元の複素列ベクトル全体のなすベクトル空間とする。 x と y を C^n の２元とする。
(x, y) を内積(>>563)とする。
このとき |(x, y)| ≦ |x||y|
証明 y = 0 のときは自明なので y ≠ 0 としてよい。 λ を複素数とする。
|x - λy|^2 = (x - λy, x - λy) = (x, x) - λ~(x, y) - λ(y, x) + |λ|^2(y, y)
λ = (x, y)/(y, y) とすると、
|x - λy|^2 = (x, x) - |(x, y)|^2/(y, y) - |(x, y)|^2/(y, y) + |(x, y)|^2/(y, y) = (x, x) - |(x, y)|^2/(y, y)
従って |(x, y)|^2/(y, y) ≦ (x, x)
即ち |(x, y)|^2 ≦ (x, x)(y, y) よって |(x, y)| ≦ |x||y| 証明終
566 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 18:18:22
命題 C^n を n 次元の複素列ベクトル全体のなすベクトル空間とする。
x と y を C^n の２元とすると |x + y| ≦ |x| + |y|
証明 |x + y|^2 = (x + y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) = |x|^2 + (x, y) + (x, y)~ + |y|^2 = |x|^2 + 2Re((x, y)) + |y|^2 ≦ |x|^2 + 2|(x, y)| + |y|^2
>>565 よりこの右辺 ≦ |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = (|x| + |y|)^2
よって |x + y|^2 ≦ (|x| + |y|)^2 即ち |x + y| ≦ |x| + |y| 証明終
567 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/17(金) 18:20:43
>>566 より C^n は |x| によりノルム空間(>>561)である。
568 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 03:16:10
H をハミルトンの４元数体(>>507)とする。 n ＞ 0 を有理整数として H^n を H 上の n 次元列ベクトルの全体とする。
x と y を H^n の２元とする。 (x, y) は (x^)y~ を表すとする。ここで x^ は x の転置行列、 y~ は y の各成分の共役(>>507)を成分とするものとする。
(x, y) をシンプレクティック内積または単に内積と言う。
|x| = √(x, x) と書き、|x| を x のノルムと言う。
x = (x_1, . . . , x_n)^ ∈ H^n としたとき、
(x, x) = (x_1)(x_1)~ + . . . + (x_n)(x_n)~ = N(x_1) + . . . + N(x_n)
ここで、各 N(x_i) は４元数 x_i のノルム(>>507)である。 従って、H^n を R^(4n) と同一視したとき |x| はユークリッドノルムと なる。 従って、x と y を H^n の２元とすると、|x + y| ≦ |x|+ |y| となる。
x = (x_1, . . . , x_n)^ ∈ H^n, q ∈ H のとき
(qx, qx) = N(q(x_1)) + . . . + N(q(x_n)) = N(q)N(x_1) + . . . + N(q)N(x_n) = N(q)(N(x_1) + . . . + N(x_n)) = N(q)(x, x)
よって |qx| = |q||x|
以上から H^n は |x| によりノルム空間(>>561)である。
569 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 03:32:53
C^n を n 次元の複素列ベクトル全体のなすベクトル空間とする。 x = (x_1, . . . , x_n)^ ∈ C^n としたとき、
p(x) = sup(|x_i|), i = 1, . . ., n と書く。
p(x + y) = sup(|x_i + y_i|) ≦ sup(|x_i| + |y_i|) ≦ p(x) + p(y)
λ ∈ C のとき p(λx) = sup(|λx_i|) = |λ|sup(|x_i|) = |λ|p(x)
以上から p(x) は C^n のノルムである。
q(x) = Σ|x_i|, i = 1, . . ., n と書く。
q(x + y) = Σ(|x_i + y_i|) ≦ Σ(|x_i| + |y_i|) ≦ q(x) + q(y)
λ ∈ C のとき q(λx) = Σ|λ||x_i| = |λ|Σ|x_i| = |λ|q(x)
以上から q(x) も C^n のノルムである。
570 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 03:42:40
定義 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(>>414)とする。 E を 左 K-加群とし、p と q を E のノルム(>>561)とする。
p と q が E 上に同じ位相を定義するとき同値であると言う。
571 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 03:57:34
補題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(>>414)とする。 E を 左 K-加群とし、p と q を E のノルム(>>561)とする。
実数 a ＞ 0, b ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して ap(x) ≦ q(x) ≦ bp(x) とする。
このとき p と q は同値(>>570)である。
証明 任意の実数 ε ＞ 0 に対して q(x) ≦ aε なら ap(x) ≦ q(x) より p(x) ≦ (1/a)q(x) ≦ ε よって恒等写像 (E, q) → (E, p) は連続である。
同様に、任意の実数 ε ＞ 0 に対して p(x) ≦ ε/b なら q(x) ≦ bp(x) より q(x) ≦ ε よって恒等写像 (E, p) → (E, q) は連続である。 証明終
572 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 04:27:26
補題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(>>414)とする。 E を 左 K-加群とし、p と q を E のノルム(>>561)とする。
恒等写像 (E, q) → (E, p) が連続なら、 実数 a ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して ap(x) ≦ q(x) となる。
証明 恒等写像 (E, q) → (E, p) が連続だから、 実数 δ ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して q(x) ≦ δ なら p(x) ≦ 1 となる。
K 上の絶対値は自明でないから 0 ＜ |λ| ＜ 1 となる λ ∈ K がある。
x ≠ 0 を E の任意の元とする。 n を (|λ|^n)q(x) ≦ δ となる整数 n の中で最小のものとする。
(|λ|^n)q(x) ≦ |λ|δ なら (|λ|^(n-1))q(x) ≦ δ となって n の最小性に反するから |λ|δ ＜ (|λ|^n)q(x) である。
(|λ|^n)q(x) = q((λ^n)x) ≦ δ だから p((λ^n)x) ≦ 1 よって p(x) ≦ 1/|λ^n|
一方 |λ|δ ＜ (|λ|^n)q(x) より 1/|λ^n| ＜ q(x)/(|λ|δ) よって p(x) ＜ q(x)/(|λ|δ)
a = |λ|δ とおけば ap(x) ≦ q(x) この不等式は x = 0 のときにも成り立つ。 証明終
573 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 04:37:53
補題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(>>414)とする。 E を 左 K-加群とし、p と q を E のノルム(>>561)とする。
p と q が同値(>>570)であるための必要十分条件は
実数 a ＞ 0, b ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して ap(x) ≦ q(x) ≦ bp(x)
となることである。
証明 十分なことは >>571 で証明されている。
必要なことを証明する。
p と q が同値なら恒等写像 (E, q) → (E, p) が連続だから >>572 より実数 a ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して ap(x) ≦ q(x) となる。
恒等写像 (E, p) → (E, q) も連続だから >>572 より実数 1/b ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して (1/b)q(x) ≦ p(x) 即ち q(x) ≦ bp(x) となる。 証明終
574 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 04:38:49
訂正
>>573 は補題でなく命題である。
575 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 04:52:32
C^n を n 次元の複素列ベクトル全体のなすベクトル空間とする。 x = (x_1, . . . , x_n)^ ∈ C^n としたとき、 次の不等式は容易に確かめられる。
sup(|x_i|) ≦ √(Σ|x_i|^2) ≦ Σ|x_i| ≦ n sup(|x_i|)
よって >>573 より三つのノルム(>>567, >>569) √(Σ|x_i|^2), sup(|x_i|), Σ|x_i| は同値である。
576 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 09:50:51
補題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(>>414)とする。 E を 左 K-加群とし、p を E のノルム(>>561)とする。 p は E から R+ への写像として一様連続である。
証明 x と y を E の任意の元とする。
p(x) ≦ p(x - y) + p(y) より p(x) - p(y) ≦ p(x - y)
p(y) ≦ p(y - x) + p(x) より p(y) - p(x) ≦ p(x - y)
よって |p(x) - p(y)| ≦ p(x - y) これから直ちに p の一様連続性が出る。 証明終
577 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 10:21:44
命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(>>414)とする。 E を 左 K-加群とし、p を E のノルム(>>561)とする。
K の完備化(>>475)を K^ とし、 E の位相アーベル群としての完備化を E^ とする。
>>562 より E は K-位相加群(>>372)である。 従って >>376 より E^ は K^-位相加群となる。
p は E^ に連続延長され、延長された p^ は E^ のノルムとなり、 それは E^ の位相を定義する。
578 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 10:23:41
>>577 の証明
>>576 より p は一様連続だから一様連続写像の延長定理(>>272) より E^ に連続延長される。その延長された写像を p^ と書く。
x, y を E^ の任意の２元とする。
不等式延長の原理(>>473)より p^(x + y) ≦ p^(x) + p^(y)
λ を K^ の任意の元とする。
(λ, x) → λx は連続写像 K^×E^ → E^ だから
等式延長の原理(>>265)より p^(λx) = |λ|p^(x)
よって p^ は E^ のノルムである。
位相アーベル群 E の完備化としての E^ の一様構造を α とし、 p^ で定義される一様構造を β とする。
φ^ は α で連続だから、任意の ε ＞ 0 に対して、 E^ における 0 の近傍 V があり x ∈ V なら |p^(x)| ＜ ε となる。
よって y - x ∈ V なら p^(x - y) ＜ ε よって β ⊂ α である。
α と β は K で一致するから >>474 より α = β である。 証明終
579 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 11:02:20
K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
K 上の有限個のノルム空間の列 E_1, . . ., E_n を考える。 各 E_i のノルムは p_i とする。
積空間 E = ΠE_i の元 x = (x_1, . . ., x_n) に対して p(x) = sup(p_i(x_i)) とおく。 p が E のノルムになることは >>569 と同様である。
p(x) ＜ a は各 i で p_i(x_i) ＜ a と同値である。 よって p が定義する位相は各 E_i の積位相である。
q(x) = Σp_i(x_i) とおく。 q が E のノルムになることは >>569 と同様である。
r(x) = (Σ(p_i(x_i))^2)^(1/2) とおく。
r(x + y) ≦ r(x) + r(y) は a_i ≧ 0, b_i ≧ 0 のときのユークリッドノルムの不等式
(Σ(a_i + b_i)^2)^(1/2) ≦ (Σ(a_i)^2)^(1/2) + (Σ(b_i)^2)^(1/2)
から出る。 よって r も E のノルムである。
>>575 と同様に p, q. r は同値である。
580 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 11:11:38
K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
>>579 より K^n にも３個の同値なノルム p, q, r が定義される。
K として複素数体 C を取れば、 C^n のノルム r は >>566 で定義したノルム |x| と同じである。
K としてハミルトンの４元数体(>>507) H を取れば、 H^n のノルム r は >>568 で定義したノルム |x| と同じである。
581 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 12:27:14
命題 K を可換とは限らない体とする。 |x| を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
E と F を K 上のノルム空間とし、 f: E → F を K-線形写像とする。
x と y がそれぞれ E と F の元のとき各ノルムはそれぞれ |x|, |y| で表す。
f が連続であるためには、a ＞ 0 があり、任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ a|x| となることが必要十分である。
証明 十分なこと：
任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ a|x| となるとする。
s を E の任意の点とする。 任意の ε ＞ 0 に対して |x - s| ＜ ε/a なら |f(x) - f(s)| = |f(x - s)| ≦ a|x - s| ＜ ε よって f は s で、従って E で連続である。
(続く)
582 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 12:31:19
必要なこと：
f は 0 で連続だから、実数 δ ＞ 0 が存在して任意の x ∈ E に対して |x| ≦ δ なら |f(x)| ≦ 1 となる。
K 上の絶対値は自明でないから 0 ＜ |λ| ＜ 1 となる λ ∈ K がある。
x ≠ 0 を E の任意の元とする。 >>572 と同様に |λ|δ ＜ (|λ|^n)|x| ≦ δ となる整数 n が唯一つ存在する。
|(λ^n)x| = (|λ|^n)|x| ≦ δ だから |f((λ^n)x)| ≦ 1
よって (|λ|^n)|f(x)| ≦ 1 よって |f(x)| ≦ 1/|λ|^n
一方 |λ|δ ＜ (|λ|^n)|x| だから 1/|λ|^n ＜ |x|/(|λ|δ)
よって |f(x)| ＜ |x|/(|λ|δ)
a = 1/(|λ|δ) とおけば、|f(x)| ＜ a|x| よって |f(x)| ≦ a|x| これは x = 0 のときにも成り立つ。 証明終
583 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 12:46:03
定義 K を可換とは限らない位相体(>>190)とする。 左 K-位相加群(>>372)を K 上の左位相ベクトル空間または単に K 上の位相ベクトル空間と言う。
K 上の右位相ベクトル空間も同様に定義される。
584 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 17:32:18
位相ベクトル空間をその原点の近傍全体で特徴付けよう。 まず位相空間の各点の近傍全体を特徴付ける。
585 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 17:37:34
命題 X を位相空間とする。 X の点 x の近傍全体 Φ(x) は以下の条件を満たす。
1) Φ(x) は X のフィルター(>>75)である。
2) V ∈ Φ(x) なら x ∈ V
3) V ∈ Φ(x) なら W ∈ Φ(x) があり、W の任意の点 y に対して V ∈ Φ(y)
証明 近傍の定義(>>80)から明らかである。
586 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 19:15:07
命題 集合 X の各点に以下の条件をみたす X の部分集合の集合 Φ(x) が対応しているとき、X の位相が定まり、全ての x ∈ X に対して その近傍全体が Φ(x) となる。
1) Φ(x) は X のフィルター(>>75)である。
2) V ∈ Φ(x) なら x ∈ V
3) V ∈ Φ(x) なら W ∈ Φ(x) があり、W の任意の点 y に対して V ∈ Φ(y)
証明 X の部分集合 U が開集合であるとは、x ∈ U なら U ∈ Φ(x) である と定義する。 (U_λ), λ ∈ L を開集合の族とし、U を (U_λ) の和集合とする。 x ∈ U なら x ∈ U_λ となる λ がある。 U_λ ∈ Φ(x) だから 1) より U ∈ Φ(x) である。
U と V を開集合とする。 x ∈ U ∩ V なら U ∈ Φ(x), V ∈ Φ(x) だから 1) より U ∩ V ∈ Φ(x) である。 以上で X の位相が定まった。
V ∈ Φ(x) のとき U = { y ∈ X; V ∈ Φ(y) } とおく。
y ∈ U なら V ∈ Φ(y) だから 3) より W ∈ Φ(y) があり、
任意の z ∈ W に対して V ∈ Φ(z) である。
よって W ⊂ U である。
W ∈ Φ(y) だから 1) より U ∈ Φ(y) である。
y は U の任意の元だから U は開集合である。
x ∈ U ⊂ V だから V は x の近傍である。
証明終
587 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 19:23:13
命題 G を位相群とする。 G の単位元 e の近傍全体 Φ は以下の条件を満たす。
1) Φ は G のフィルター(>>75)である。
2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり WW ⊂ V
3) V ∈ Φ なら V^(-1) ∈ Φ
4) V ∈ Φ なら任意の g ∈ G に対して gVg^(-1) ∈ Φ
証明 位相群の定義(>>72)から明らかである。
588 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 20:53:13
命題 群 G の部分集合の集合 Φ が以下の条件を満たすとき Φ が G の単位元 e の近傍全体と一致するような G の位相が 唯一つ存在し、その位相により G は位相群となる。
1) Φ は G のフィルター(>>75)である。
2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり WW ⊂ V
3) V ∈ Φ なら V^(-1) ∈ Φ
4) V ∈ Φ なら任意の g ∈ G に対して gVg^(-1) ∈ Φ
589 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 20:56:45
>>588 の証明 2) より x ∈ W なら e = xx^(-1) ∈ V である。 よって g ∈ G に対して Φg は g を含むフィルターになる。
V ∈ Φ のとき WW ⊂ V となる W ∈ Φ がある。 x ∈ Wg なら Wx ⊂ WWg ⊂ Vg よって Vg ∈ Φx よって Φg は >>586 の 3) を満たす。 従って >>586 より Φg は g の近傍のフィルターである。
μ : G×G → G を μ(x, y) = xy により定義される写像とする。 ν : G → G を ν(x) = x^(-1) により定義される写像とする。 μ と ν が連続であることを証明すればよい。
g, h を G の元とする。 任意の V ∈ Φ に対して WW ⊂ V となる W ∈ Φ がある。 U = W ∩ g^(-1)Wg とおくと、U ∈ Φ である。 U ⊂ W gUg^(-1) ⊂ W よって UgUh = UgUg^(-1)gh ⊂ WWgh ⊂ Vgh
よって μ は (g, h) で連続である。
g を G の元とする。 任意の V ∈ Φ に対して W^(-1) ⊂ gVg^(-1) となる W ∈ Φ がある。
(Wg)^(-1) = g^(-1)W^(-1) ⊂ Vg^(-1)
よって ν は g で連続である。 証明終
590 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 21:04:16
命題 アーベル群 G の部分集合の集合 Φ が以下の条件を満たすとき Φ が G の単位元 0 の近傍全体と一致するような G の位相が 唯一つ存在し、その位相により G は位相アーベル群となる。
1) Φ は G のフィルター(>>75)である。
2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり W + W ⊂ V
3) V ∈ Φ なら -V ∈ Φ
証明 >>588 より明らかである。
591 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 22:38:26
命題 A を可換とは限らない環であり同時に位相空間とする。 A が位相環であるためには A が以下の条件すべてを満たすことが 必要十分である。
1) A は加法に関して位相群である。
2) 任意の a ∈ A に対して写像 x → ax と写像 x → xa は x = 0 で連続である。
3) A×A から A への写像 (x, y) → xy は (0, 0) で連続である。
証明 上記の条件が必要なことは明らかである。
上記の条件が成り立つとする。 A×A から A への写像 (x, y) → xy が連続であることを示せばよい。
a, b を A の任意の元とする。
2) より 0 の任意の近傍 V に対して a(W_1) ⊂ V, (W_2)b ⊂ V となる 0 の近傍 W_1, W_2 がある。
3) より、UU ⊂ V となる 0 の近傍 U がある。
W = U ∩ W_1 ∩ W_2 とする。
x - a ∈ W, y - b ∈ W なら
xy - ab = (x - a)(y - b) + (x - a)b + a(y - b) ∈ WW + Wb + aW ⊂ V + V + V 証明終
592 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 22:39:50
Kummer----------!!!
--ミ､、_:::::::::::::::::｀:"'':―┼――――l.:.:.:.:.:.::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::l:::::|:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;i;:;:;:;:;:;:;:;:;:;|
ミ三三ﾐ'ー‐-- ､、＿:::::::|:::::::::::::::::::::::j:-―――‐t―――----┴-{:_;:_;_:_;:_;:_;:_;:_;:_;:i;:_;:_;:_;:_;:_;:|
ﾐミ三三、 .u ､ｰ=､`'┴―――fミ',ﾆ三三三三 r―､ rﾐ､_;_:_;:_;:_;:_;:_;:_;:;i;:_;:_;:_;:_;:_;:;|
ﾐミミ三ｼ . . .u `―' l ii l (ヲ lミil三三三三彡' j ｀￣ ヾ'i. , 一, ､ｰ､ ヾﾐl
ﾐミミf'" _,,.,,_:.:.:.:.. _j_ .:.:.:. j lﾐﾘﾆ三三シ´ _,. - 、 : __ l､,. .. `""´ `" ,iﾐl
ﾐミミ ',ｨでiﾝﾐ、:.:.､__, -,ｨも=､',l:l三三三ミ .:.:.:.:ｨ'"でi、.:. :,rtｯ'.: j , -‐‐-'. .: ｰ- ､.ヾl
ミミ' J. ´￣｀ﾞ`ラ .:. 三 f"´￣｀' lj ＼三三ﾐ .:.:.:.:.｀`＝ﾞ^ .: 'iｰ{ ,ｨ'で入 . '. ,ｨ'で)'､ ∥
ミﾐ ｀二ﾆノ ,、 jl ',` ―''" ,l!人 ヾ三ミ u ', ﾞ', ｀ﾞﾞﾞ"´ﾉ.:: ',｀ﾞﾞﾞ"´ .|
;ミ' ,ィ'" ﾄ、 ,!rぅ ',三ｼ ,r __ ） !. u ' ,::: ', .:|
ミ; u ／ `^ヽ,＿ノi ,'ヽ二ノ l三'ﾞ U ,. `´ 'ｰｲ ,':::... /ゝ =､_,,r｀､.u ::l
ﾐ' ／ _,,...,＿,,..,、l u ./ヾﾐ. ',三 ,' ,:'´ ／ _,,__,、/:: : :::.. ,' : : i .::l
N ／ ,ィiTTTTTト, ,} ,/ l三 `'" / / ／_,∠二,ｰｱﾉ/: u: .::: : _,ｨｪｪｪｭ､ :l ::i
;ヽ U { ,/⌒'ｰ'‐'‐'‐',ﾘ l / ,l^`' .:.:.:.:l ,' ,. h､:.:ﾞ':.:.lf´,'/ ', : : .::: i 〈-‐‐rー, i l .:/
、 ヽ l {,ゝ､‐r‐'ﾝ-i/ ,/ ,ｲ/7 .:' ,::' .:.:.:.:; :; :, ヾゞｚｪｿ ;/ヽヽ: : ::: l ヽｚｪｪｪｭﾘ :! /
ヽヽ丶 丶 ヾ<Zェｪｪｼ' ﾉ ,i'∧', ,' ,. - 、 丶 ､_｀'一' /,､.|: :ヽ: ::.. ヽ ヽﾆ二ﾉ /
ヽヽ 丶、 ｀ ｀ ‐ -- ‐'"/ノ:::::ヽヽ、 .::.::.::.::丶、 ﾞﾞﾞﾞ /l |ﾉ: : : ヽ: :. /
593 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/08/18(土) 22:42:53
命題 可換とは限らない環 A の部分集合の集合 Φ が以下の条件を満たすとき Φ が 0 の近傍全体と一致するような A の位相が 唯一つ存在し、その位相により A は位相環(>>189)となる。
1) Φ は A のフィルター(>>75)である。
2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり W + W ⊂ V
3) V ∈ Φ なら -V ∈ Φ
4) 任意の a ∈ A と任意の V ∈ Φ に対して W ∈ Φ があり aW ⊂ V, Wa ⊂ V,
5) 任意の V ∈ Φ に対して W ∈ Φ があり WW ⊂ V
証明 >>590 と >>591 より明らかである。
594 ：１３２人目の素数さん：2007/08/18(土) 23:59:46
（>>593の続き） 大学時代、サークルのやつらでドライブしてるときに いちばんカワイイ子に 「オナニーしてんの？」て唐突にきいたら 「えっ？えっ？」て感じで戸惑ってたから 「あー、オナニーしてんだｗ」て畳みかけたら 顔真っ赤にして、コクリと肯いたのには激しく勃起しました。 そのときは夜中の妙なハイテンションになってて いま思えば俺も変態まるだしだったのだが 「こんな勃起しちゃったよ～」てチンコ出して握らせた。 そしたらその子も勃起してて、しかも俺よりデカくてビックリ。顔かわいいのに・・・
595 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03:20:30
a
596 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03:21:07
b
597 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03:21:38
c
598 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03:22:50
d
599 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03:23:22
e
600 ：１３２人目の素数さん：2007/08/19(日) 03:23:53
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