最終更新日時 2011年03月06日 (日) 21時51分34秒
代数的整数論 005 (941-1001)
元スレ： http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/941-
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science6.2ch.net_math_1173998720/941-
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941 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 15:13:37
T
942 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 15:14:12
U
943 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 15:14:50
V
944 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 15:15:21
W
945 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 15:15:52
X
946 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 15:16:27
Y
947 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 15:18:00
Z
948 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 15:50:40
命題 Σa_n/n^s を Dirichlet 級数(>>795)とする。 s は実変数とする。
数列 (a_n) が有界なら Σa_n/n^s は s ＞ 1 において絶対収束する。 さらに任意の δ ＞ 0 に対して [1 + δ, ∞] において一様収束する。
証明 数列 (a_n) が有界だから C ＞ 0 があり、 |a_n| ≦ C が任意の n で成り立つ。 よっって |a_n/n^s| ≦ C/n^s
Σ1/n^s は s ＞ 1 のとき収束する。 これはよく知られているが Σ1/n^s は >>919 において a = 1, b = 1 と おいた級数だから >>919 からも分かる。
よって Σa_n/n^s は s ＞ 1 のとき絶対収束する。
任意の δ ＞ 0 に対して s ≧ 1 + δ のとき |a_n/n^s| ≦ C/n^s ≦ C/n^(1 + δ)
ΣC/n^(1 + δ) は収束するから、Σa_n/n^s は [1 + δ, ∞] において一様収束する。 証明終
949 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 16:24:42
補題(Abel の補題) 数列 (a_n) と (b_n) があるとする。
s_n = a_1 + a_2 + . . . + a_n とおく。
n ≦ m のとき S(n, m) = a_nb_n + a_(n+1)b_(n+1) + . . . + a_mb_m とおく。
このとき
S(n, m) = s_n(b_n - b_(n+1)) + . . . + s_(m-1)(b_(m-1) - b_m) - s_(n-1)b_n + s_mb_m
となる。
証明 S(n, m) = (s_n - s_(n-1))b_n + (s_(n+1) - s_n)b_(n+1) + . . . + (s_m - s_(m-1))b_m
これを変形すればよい。 証明終
950 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 16:51:45
命題 Σa_n/n^s を Dirichlet 級数(>>795)とする。 s は実変数とする。 s_n = a_1 + a_2 + . . . + a_n とおく。
数列 (s_n) が有界なら Σa_n/n^s は s ＞ 0 において収束する。 さらに任意の δ ＞ 0 に対して [δ, ∞] において一様収束する。
証明 数列 (s_n) が有界だから C ＞ 0 があり、 |s_n| ≦ C が任意の n で成り立つ。
n ≦ m のとき S(n, m) = a_n/n^s + a_(n+1)/(n+1)^s + . . . + a_m/m^s とおく。
>>948 より S(n, m) = s_n(1/n^s - 1/(n+1)^s) + ... + s_(m-1)(1/(m-1)^s - 1/m^s) - s_(n-1)/n^s + s_m/m^s
s ≧ δ のとき |S(n, m)| ≦ C(1/n^s - 1/m^s) + C/n^s + C/m^s = 2C/n^s ≦ 2C/n^δ
2C/n^δ は n を十分大きくすればいくらでも小さくなる。 よって Σa_n/n^s は [δ, ∞] において一様収束する。 証明終
951 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 17:13:36
N ＞ 0 を有理整数とする。 C を複素数体とする。
群 (Z/NZ)^* から C^* への準同型を mod N の Dirichlet 指標という。
χ を mod N の Dirichlet 指標としたとき次のように χ を Z から C^* への 関数とみなす。
n と N が素のとき χ(n) = χ([n]) n と N が素でないとき χ(n) = 0
952 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 17:18:30
N ＞ 0 を有理整数とする。 χ を mod N の Dirichlet 指標とする。
Dirichlet 級数 L(s, χ) = Σχ(n)/n^s を χ の L 関数という。
953 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 17:51:09
G を有限アーベル群とする。 C を複素数体とする。
G から C^* への準同型を G の指標という。 G の指標全体 Hom(G, C^*) はアーベル群となる。
954 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 17:58:24
命題 G を有限アーベル群とする。 χ ≠ 1 を G の指標(>>953)とする。
Σχ(g) = 0 である。 ここで、g は G の元全体を動く。
証明 χ ≠ 1 だから χ(a) ≠ 1 となる a ∈ G がある。
g が G の元全体を動くとき ag も G の元全体を動く。 従って、Σχ(ag) = Σχ(g) である。
一方 Σχ(ag) = Σχ(a)χ(g) = χ(a)Σχ(g)
よって χ(a)Σχ(g) = Σχ(g) (χ(a) - 1)Σχ(g) = 0
χ(a) - 1 ≠ 0 だから Σχ(g) = 0 である。 証明終
955 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 18:16:18
umeking
956 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 18:19:46
桃王
957 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 18:21:36
櫻姫
958 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 18:35:06
1
959 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 18:42:01
0
960 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 19:19:49
補題 m ＞ 0 を有理整数とする。 χ ≠ 1 を mod m の Dirichlet 指標(>951)とする。
任意の有理整数 n ＞ 0 に対して |χ(1) + χ(2) + . . . + χ(n)| ≦ φ(m) である。
証明 >>954 より χ(1) + χ(2) + . . . + χ(m) = 0 χ(m + 1) + χ(m + 2) + . . . + χ(2m) = 0 χ(2m + 1) + χ(2m + 2) + . . . + χ(3m) = 0 . . .
よって 任意の有理整数 n ＞ 0 に対して n = mq + r, 0 ≦ r ＜ m とすれば
χ(1) + χ(2) + . . . + χ(n) = χ(qm + 1) + χ(qm + 2) + . . . + χ(qm + r)
よって |χ(1) + χ(2) + . . . + χ(n)| = |χ(qm + 1) + χ(qm + 2) + . . . + χ(qm + r)| ≦ φ(m) 証明終
961 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 19:24:00
0
962 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 19:24:08
命題 m ＞ 0 を有理整数とする。 χ ≠ 1 を mod m の Dirichlet 指標(>951)とする。
L(s, χ) = Σχ(n)/n^s は 任意の δ ＞ 0 に対して [δ, ∞] において一様収束する。
証明 >>950 と >>960 より明らかである。
963 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 19:25:00
0
964 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 19:26:00
-1
965 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 19:27:00
-2
966 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 19:28:00
-3
967 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 19:29:00
-4
968 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 19:30:00
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969 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 19:31:00
-6
970 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 19:32:00
-7
971 ：１３２人目の素数さん：2007/07/24(火) 19:33:00
-8
972 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 21:55:32
D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。
>>564 より n が D と素な正の奇数のとき χ(n) = (D/n) である。
級数 Σ'(D/n)/n^s と L(s, χ) = Σχ(n)/n^s の関係を調べよう。 ここで Σ'(D/n)/n^s の n は D と素な正の奇数全体を動く。
D ≡ 0 (mod 4) のときは L(s, χ) = Σχ(n)/n^s において n が偶数のときは χ(n) = 0 であるから L(s, χ) = Σ'(D/n)/n^s である。
よって D ≡ 1 (mod 4) と仮定する。
>>948 より s ＞ 1 のとき L(s, χ) は絶対収束する。 よって和の順序を変えてもよいから
L(s, χ) = Σ'χ(n)/n^s + Σχ(2n)/(2n)^s
ここで Σ'χ(n)/n^s の n は D と素な正の奇数全体を動き、 Σχ(2n)/(2n)^s の n は n ≧ 1 となる有理整数全体を動く。
n が D と素な正の奇数のとき χ(n) = (D/n) だから Σ'χ(n)/n^s = Σ'(D/n)/n^s である。
Σχ(2n)/(2n)^s = Σχ(2)χ(n)/(2n)^s = (χ(2)/2^s)Σχ(n)/n^s = (χ(2)/2^s)L(s, χ)
よって s ＞ 1 のとき L(s, χ) = Σ'(D/n)/n^s + (χ(2)/2^s)L(s, χ)
(続く)
973 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 21:56:21
>>962 より L(s, χ) は s ＞ 0 のとき連続である。 同様に Σ'(D/n)/n^s も s ＞ 0 のとき連続である。
よって s → 1 + 0 のとき lim L(s, χ) = L(1, χ) および lim Σ'(D/n)/n^s = Σ'(D/n)/n となる。
よって L(1, χ) = Σ'(D/n)/n + (χ(2)/2)L(1, χ)
よって Σ'(D/n)/n = (1 - χ(2)/2)L(1, χ)
>>567 より D ≡ 1 (mod 8) のとき χ(2) = 1 D ≡ 5 (mod 8) のとき χ(2) = -1
よって D ≡ 1 (mod 8) のとき Σ'(D/n)/n = (1/2)L(1, χ) D ≡ 5 (mod 8) のとき Σ'(D/n)/n = (3/2)L(1, χ)
974 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 22:09:52
D ＜ 0 を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
さらに |D| ＞ 4 とする。即ち D = -3, -4 を除外する。
χ: (Z/DZ)^* → {±1} を >>564 の準同型とする。
>>918 と >>973 より D ≡ 0 (mod 4) のとき hπ/√|D| = L(1, χ)
D ≡ 1 (mod 8) のとき hπ/2√|D| = (1/2)L(1, χ) よって hπ/√|D| = L(1, χ)
D ≡ 5 (mod 8) のとき h3π/2√|D| = (3/2)L(1, χ) よって hπ/√|D| = L(1, χ)
すなわち、上記の三つの場合共通に h = ((√|D|)/π)L(1, χ)
975 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/07/24(火) 22:31:12
>>974 の公式は高木の初等整数論講義の結果(p.372, p.377)と 同じである。 しかし、これは自明ではない。 何故なら、高木の初等整数論講義では、判別式 D が２次体 Q(√D) の 判別式と一致する場合のみを扱っているが、我々の場合、判別式 D は Q(√D) の判別式とは限らないからである。
一般の判別式を扱っているため、我々(即ち Dirichlet) の証明は 高木と較べてかなり長いものになっている。
976 ：１３２人目の素数さん：2007/07/25(水) 04:10:00
-5
977 ：１３２人目の素数さん：2007/07/25(水) 04:11:00
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978 ：１３２人目の素数さん：2007/07/25(水) 04:12:01
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979 ：１３２人目の素数さん：2007/07/25(水) 04:13:00
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980 ：１３２人目の素数さん：2007/07/25(水) 04:14:00
-9
981 ：１３２人目の素数さん：2007/07/25(水) 04:15:00
-10
982 ：１３２人目の素数さん：2007/07/26(木) 00:25:58
なんでこんな２ちゃんのやり方わかってない奴が２ちゃんに拘ってんだろ 自分のサイトでやりゃいいのに
983 ：１３２人目の素数さん：2007/07/26(木) 00:35:22
>>982 >なんでこんな２ちゃんのやり方わかってない奴が
そうかそうか、あんたは2chに詳しいんだ。 偉いねｗ
>自分のサイトでやりゃいいのに
2chのほうが見る人間が多いからだろ。
984 ：１３２人目の素数さん：2007/07/26(木) 00:43:11
詳しくなくても新スレ立てたら誘導ぐらいするだろ
985 ：１３２人目の素数さん：2007/07/26(木) 00:48:01
なんだ、そんなことで拗ねてんのかｗ
986 ：１３２人目の素数さん：2007/07/26(木) 06:09:05
他にもあるのに言われずにきずくことの出来ないクメル
987 ：１３２人目の素数さん：2007/07/26(木) 07:45:24
百三十二日。
988 ：１３２人目の素数さん：2007/07/26(木) 20:57:15
>>986 つに点々な。
989 ：１３２人目の素数さん：2007/07/26(木) 22:15:11
何か築きたかったんじゃねーの？
990 ：１３２人目の素数さん：2007/07/27(金) 06:39:42
まだきずかないクメル
991 ：１３２人目の素数さん：2007/07/27(金) 08:45:48
百三十三日一時間。
992 ：１３２人目の素数さん：2007/07/27(金) 10:04:03
次スレ立てました。
代数的整数論 006
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/
993 ：１３２人目の素数さん：2007/07/28(土) 07:45:20
百三十四日。
994 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう：2007/07/29(日) 09:29:20
百三十五日一時間四十四分。
995 ：１３２人目の素数さん：2007/07/30(月) 07:45:20
百三十六日。
996 ：１３２人目の素数さん：2007/07/31(火) 09:45:20
百三十七日二時間。
997 ：１３２人目の素数さん：2007/08/01(水) 07:45:30
百三十八日。
998 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 07:45:20
百三十九日。
999 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 07:46:20
百三十九日一分。
1000 ：１３２人目の素数さん：2007/08/02(木) 07:47:20
百三十九日二分。
1001 ：１００１：Over 1000 Thread
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