最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時29分20秒
代数的整数論 II(701-800)
元スレ： http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/701-800
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/701-800
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/701-800
701 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 18:06:08
>>699 ×：kingよりもずっと偉いお方じゃ！無礼者め！ 〇：king殿はずっと偉いお方じゃ！無礼者め！
702 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 18:07:22
>>700 ふむ。良きに計らえ。
703 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/16(月) 18:52:04
>>698 kingとスレ主比べてるんでしょ？
9208 ◆lJJjsLsZzw さん、お邪魔しました。
704 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/16(月) 19:49:22
talk:>>701 I'm the King of kings.
705 ：１３２人目の素数さん：2006/01/16(月) 19:53:12
>>704 知らない間にボキャが増えたね。
706 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/16(月) 19:59:27
talk:>>705 何だよ？
707 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 09:30:11
>>677の分数イデアルの定義は A が整域とは限らない場合には 以下のようになる。
定義 A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。 B の A-部分加群 M が次の条件を満たすとき M を A の分数イデアル と呼ぶ。 1) M は非退化(>>431)である。 2) A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。
708 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 09:54:42
命題 A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。 M を B の A-部分加群とする。 M が A の分数イデアル(>>707)であるためには次の条件が 必要十分である。
A の非零因子 s で sA ⊂ M ⊂ A(1/s) となるものがある。
証明 M が A の分数イデアルであるとする。 M は非退化だから >>434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの がある。一方、分数イデアルの定義より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 st ∈ M で stM ⊂ sM ⊂ A だから M ⊂ A(1/st) である。 よって、stA ⊂ M ⊂ A(1/st) である。
条件が十分なことは明らか。 証明終
709 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 10:41:02
>>676の別証
命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて 一意的に分解される。
証明
A の極大イデアル p に対して IA_p ≠ A_p となるためには
I ⊂ p が必要十分である。これは明らかだろう。
A の非零素イデアルは極大だから、Supp(A/I) は
極大イデアルのみからなる。よって前スレの166より、
Ass(A/I) = Supp(A/I) となるから、Supp(A/I) は有限個である。
Supp(A/I) = {p_1, ..., p_r} とする。
>>585 より各 A_(p_i) は離散付値環であるから、 IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。
J = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) とおく。
容易にわかるように、IA_(p_i) = JA_(p_i) である。
極大イデアル p が集合 {p_1, ..., p_r} に含まれないときは、
IA_p = A_p = JA_p である。
よって、>>692 より I = J である。
証明終
710 ：１３２人目の素数さん：2006/01/17(火) 11:38:04
A をDedekind整域(>>601)とする。 p を A の極大イデアルとする。 >>585より A_p は離散付値環である。 よって pA_p は単項イデアルである。 この生成元を t とする。t ∈ A_p だから t = a/s, a ∈ p, s ∈ A - p と書ける。 s は A_p の可逆元だから、(a/s)A_p = aA_p である。 よって、t ∈ p と仮定してよい。
x ≠ 0 を K の元とする。xA_p = (t^n)A_p となる 整数 n が一意に定まる。n = ν_p(x) と書く。略してν(x)とも書く。 明らかに ν(x) は t の選び方によらない。
711 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12:28:33
>>710 の ν_p(x) は x = 0 のときに ν_p(x) = ∞ と定義する。 こう定義したとき、ν_p を p で定まる離散付置と呼ぶ。
712 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12:31:07
>>711 >こう定義したとき、ν_p を p で定まる離散付置と呼ぶ。
離散付値
713 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12:34:06
付値論については後でやる予定。 ここでは単に用語の定義だけ。
714 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12:50:42
A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１の素イデアルとする。 >>585より A_p は離散付値環である。 よって p で定まる離散付置ν_pが >>710 とまったく同様に定義出来る。
715 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 12:59:21
補題
A をネーター整閉整域とし、p を A の高さ１の素イデアルとする。
ν_p を p で定まる離散付置(>>714)とすると、任意の整数 n ≧ 0
に対して p^(n) = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。
ここで、p^(n) = A ∩ (p^n)A_p
つまり p の記号的 n-乗(前スレの348)。
証明
(p^n)A_p = {x ∈ K; ν_p(x) ≧ n} は ν_p の定義より明らか。
よって p^(n) = A ∩ (p^n)A_p に注意すればよい。
証明終
716 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 13:03:43
補題
A をDedekind整域(>>601)とし、p を A の極大イデアルとする。
ν_p を p で定まる離散付置(>>711)とすると、任意の整数 n ≧ 0
に対して p^n = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n} となる。
証明 >>715 と p^n = A ∩ (p^n)A_p より明らか。 証明終
717 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 16:03:41
>>716 >p^n = A ∩ (p^n)A_p より明らか。
これは >>615 からわかる。
718 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 17:27:38
命題
A をネーター整閉整域ととする。
I を A のイデアルで、Ass(A/I) = {p_1, ..., p_r} で
各 i で ht(p_i) =1 とする。IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。
このとき、I = {x ∈ A; ν_p_i(x) ≧ n_i, i = 1, ..., r} となる。
証明
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
ht(p_i) = 1 だから、p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。
よって >>715 より本命題の主張が得られる。
証明終
719 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/17(火) 17:30:40
×離散付置 ○離散付値
720 ：１３２人目の素数さん：2006/01/17(火) 19:34:16
このすれに現れたゆんゆんなるもの、実は男らしい。ウゲェー。
721 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 06:28:36
×離散付値 ○離散賦値
722 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/18(水) 07:59:33
おはよーございます、9208 ◆lJJjsLsZzw さん。 ちょっと失礼・・・
>>720聞き捨てならねーな。
723 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 09:07:16
>>722 ネカマだろ？
724 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10:14:14
Dedekind整域のもう１つの特徴付けを述べるのを忘れていた。 以下、それを述べる。
補題 A をネーター局所整域とし、m をその極大イデアルとする。 dim(m/m^2) = 1 なら A は離散付値環である。 ここで、dim(m/m^2) は m/m^2 の 体 A/m 上のベクトル空間として の次元である。
証明 >>569より m は単項イデアルである。 よって >>568より A は離散付値環である。 証明終
725 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10:28:19
補題 A を体でないネーター整域とする。 A の任意の極大イデアル m に対して A_m が離散付値環なら A は Dedekind整域である。
証明 m を A の極大イデアルとする。 A_m は離散付値環だから、ht(m) = 1 である。 これから dim(A) = 1 である。
>>612より、 A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。 >>607 より各 A_m は整閉だから、A も整閉である。 以上から A は １次元のネーター整閉整域すなわち Dedekind整域である。 証明終
726 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10:30:47
命題(園による) A を体でないネーター整域とする。 A の任意の極大イデアル m に対して m と m^2 の間に真のイデアル がないとする。このとき、A はDedekind整域である。
証明 m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって A が体でないことに矛盾する。よって m ≠ m^2 である。 a ∈ m - m^2 をとる。m と m^2 の間に真のイデアルがないから m = m^2 + aA である。よって dim(m/m^2) = 1 である。 よって >>724 より A_m は離散付値環である。 よって >>725 より A はDedekind整域である。 証明終
727 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10:43:33
>>726 >m = m^2 とすると中山の補題(前スレの242)より m = 0 となって
m = m^2 とすると mA_m = m^2A_m となって、 中山の補題(前スレの242)より mA_m = 0 よって m = 0 となって
728 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 10:57:17
レス番号が800になる前に「代数的整数論３」のスレを誰か作って くれないかな。レス番号が800になった時点でそっちに移りたいから。 そうするとこのスレは少しは生き延びるから後の参照に便利だろう。
729 ：king 氏：2006/01/18(水) 11:25:37
>>728 は？誰の厄にもたたんよ。
730 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 11:34:45
代数幾何の初歩を知っている人向けの解説を行う。
k を代数的閉体、X を k上の既約な代数多様体とする。 つまり、X はk上有限型の既約かつ被約な分離的スキームである。 さらに X は正規、つまり X の各閉点 p における局所環 O_p が整閉 であるとする。 簡単のため X がアフィンの場合を考える。
A = Γ(X) を X の座標環とする。 仮定より A の極大イデアル m に対して A_m は整閉である。 >>612より、 A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。 よって A は整閉である。 よって >>584 より S を A の(0を含まない)積閉部分集合とすると、 A_S も整閉である。
W を X の余次元１の既約閉部分集合とする。 W の生成点を p とすれば A_p は dim(A_p) = 1 である。 A_p は上で述べたことより整閉であるから>>555より離散付値環である。 よって>>714により離散付値ν_pが定義される。
K を X の有理関数体とする。つまり K は A の商体である。 f を K の 0 でない元とする。ν_p(f) は、 f の W における零点または極の位数を表すと考えられる。 ν_p(f) > 0 のときは零点の位数をあらわし、 ν_p(f) < 0 のときは、その絶対値が極の位数を表す。
731 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 11:38:03
>>728 (非常に大雑把に言えば)一つスレを立てれば一つスレが落ちる。 スレッドは資源であり、貴方は「他人が見ても役立つだろう」という考えの下 資源を一つ消費してノート代わりにしている立場なのだという意識を忘れずに。 現行スレを一定期間二つ併存させるなんて無駄遣いしないで。 http://makimo.to/2ch/science4_math/1126/1126510231.html で過去ログは見れるんだし。 トップはhttp://makimo.to/2ch/
732 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 11:43:35
>>731 アホの相手するなよ。 好きなだけ写経させてやってくれ。
733 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 11:47:12
過去ログがすぐ見れるなら>>728は撤回するけど、どうなの？
734 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 11:50:07
>>733 確かスレが1000まで行ってから二日か三日くらいで http://makimo.to/2ch/で見られるようになるはず。
735 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 11:56:20
>>734
Thanks。なら撤回する。
736 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 12:49:13
補題 A をネーター整閉整域とし、K をその商体とする。 ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。
A = {x ∈ K; すべての p ∈ P でν_p(x) ≧ 0}
となる。
証明 >>605より明らか。
737 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 13:14:27
定義 A をネーター整閉整域とし、I を A のイデアルとする。 Ass(A/I) の各元の高さが１のとき、I を因子的イデアルと呼ぶ。
738 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 13:41:41
命題 A をネーター整閉整域とする。 ht(p) = 1 となる A の素イデアル p の全体を P とする。 (n_p) を各 p ∈ P を添字とする有理整数の列で、 各 p ∈ P にたいして n_p ≧ 0 であり、 有限個の p を除いて n_p = 0 とする。
I = {x ∈ K; 各 p ∈ P において ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、
I は因子的イデアル(>>737)である。
逆に任意の因子的イデアルは、このように表される。
証明
n_p ≠ 0 のとき q_p = {x ∈ A; ν_p(x) ≧ n_p} とおくと、
q_p = A ∩ p^(n_p)A_p である。つまり、q_p は p の記号的n_p乗
p^(n_p) である(前スレの348)。
前スレの351より、q_p は準素イデアルであり Ass(A/q_p) = {p}
である。
よって、n_p ≠ 0 となる p の全体を p_1, ..., p_r とすれば、
I = q_p_1∩...∩q_p_r となる(>>736を考慮する) 。
これから、I が因子的なことがわかる。
逆に任意の因子的イデアルが、命題の主張のように表されることは、 >>718 と >>736 より明らか。 証明終
739 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 13:46:53
>>731 うん、うん。もっと言ってやって。
740 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 14:00:12
荒しには何も言わないで何言ってやがる。 このスレの有用性は俺が宣伝するまでもないだろ。 各命題は可換代数における基礎的かつ重要なものばかり。 それに丁寧に証明を付けている。
741 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 14:45:06
>>740
荒らし共は、本論が停滞したとき幕間繋ぎに湧き出て来るんだから、相手にするな。 その他は通り掛かりの気紛れだから、適当にあしらい気にするな。
742 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 14:59:55
命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。 n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする(同じ値があっても良い)。 A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。
証明 各 i において t_i ∈ p_i - (p_i)^2 をとる。 ν_p_i(t_i) = 1 である。
中国式剰余定理(前スレの341)より、 x = (t_i)^(n_i) mod (p_i)^(n_i + 1) が各 i について成立つような x ∈ A がある。
各 i において、x = 0 mod (p_i)^(n_i) である。
x = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) と仮定すると、 (t_i)^(n_i) = 0 mod (p_i)^(n_i + 1) となる。 よって、ν_p_i((t_i)^(n_i)) = n_i ≧ n_i + 1 となって矛盾。 よって、x ≠ 0 mod (p_i)^(n_i + 1) である。
以上から、ν_p_i(x) = n_i となる。 証明終
743 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15:03:37
>>740 荒らされたくなければ sage ろ。 話はそれからだ。
744 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15:03:46
208の存在自体があらし
745 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 15:23:42
命題 A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。 n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする (同じ値があっても良い)。 K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。
証明 >>742より A の元 x で n_i が非負のとき ν_p_i(x) = n_i となり、 n_i が負のとき ν_p_i(x) = 0 となるものが存在する。
同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、 n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。
x/y が求めるものである。 証明終
746 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 15:31:12
>>745は>>730の例において、X の次元が１のとき即ち X が 代数曲線のとき、X の有限個の閉点とそこにおける 零点または極の位数を与えて関数を求める問題の答を与えている。
747 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15:32:54
>>746 だから sage ろよ。
748 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 15:34:29
sage方教えてくれｗ
749 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16:10:41
名前欄にfusianasan E-mail欄にtesttest 本文１行目にtesttest
750 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/18(水) 16:15:35
>>726 >m と m^2 の間に真のイデアルがないとする。
m と m^2 の間に真の中間イデアルがないとする。
751 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16:28:42
testtest
>>749 あ、本当だ。簡単なんだね。ありがとう！
752 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16:29:51
ひどい自演を見た
753 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16:33:22
>>749に書いてある通りにするとどうなるの？
754 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 16:46:45
>>683 >浅野の代数学１(岩波)
正確には正田・浅野の代数学Ｉ(1952年)(岩波)。
この本は、van der Waerden と Weil のFoundationの第一章 の写しに近い。一般イデアル論にはわずかに独自性が見られるが。 そのくせ、van der Waerden と Weil の名はどこにも出てない。 こういうの有り？ これを知った上で前書きを読むと面白い。
755 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 17:22:54
>>754 前書きにはどんなことが書いてあるのですか？ その本、手元にないもので。。。
756 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 17:29:16
著者独自の工夫を凝らしたが、それがどこまで成功したかは 読者の判断にまかせるというような。
記憶を頼りに書いてるので鵜呑みにされても困るが。 本当のところは本物を読んでもらうしかない。
757 ：１３２人目の素数さん：2006/01/18(水) 18:18:46
>>756 なるほど、なるほど。背景が透けて見えるのに、ということですね。
758 ：１３２人目の素数さん：2006/01/19(木) 09:07:34
>>754 >そのくせ、van der Waerden と Weil の名はどこにも出てない。
Weilの名前は出ていた。
759 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 10:07:53
>>745 >同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、 >n_i が負のとき ν_p_i(x) = -n_i となるものが存在する。
同様に A の元 y で n_i が非負のとき ν_p_i(y) = 0 となり、 n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となるものが存在する。
760 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 10:12:10
>>745の命題は次のように改良出来る。
命題 A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとする。 n_1, ..., n_r を(非負とは限らない)有理整数の列とする。 K の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となり、 p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0 となるものが存在する。
証明 >>742より A の元 y で n_i が負のとき ν_p_i(y) = -n_i となる ものが存在する。 n_i が非負のとき ν_p_i(y) = m_i とおく。
>>742より A の元 z で n_i が非負のときν_p_i(z) = n_i + m_i となり、n_i が負のとき ν_p_i(z) = 0 となるものが存在する。 z = z/y が求めるものである。 証明終
761 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 11:24:34
補題 A をDedekind整域(>>601)とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、 x_1, ..., x_r を A の元の列、 n_1, ..., n_r を非負の有理整数の列とする。
A の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となるものが 存在する。ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置(>>711)。
証明 中国式剰余定理(前スレの341)より明らか。
762 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 12:02:23
命題(Dedekind整域における近似定理) A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルとし、 x_1, ..., x_r を K の元の列、 n_1, ..., n_r を有理整数の列とする。
K の元 x で ν_p_i(x - x_i) ≧ n_i, i = 1, ..., r となり、 p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して常に ν_p(x) ≧ 0 となるものが存在する。 ここで、各ν_p_i は p_i で定まる離散付置(>>711)。
証明 各 n_i は正と仮定してよい。 各 x_i = a_i/s と書ける。ここで、a_i ∈ A、s ∈ A。
ν_p(s) ≠ 0 となる極大イデアル p で、p_1, ..., p_r と 異なるもの全体を q_1, ..., q_s とする。
>>761より、 A の元 b で ν_p_i(b - a_i) ≧ n_i + ν_p_i(s), i = 1, ..., r ν_q_j(b) ≧ ν_q_j(s), j = 1, ..., s と なるものが存在する。
各 i で、ν_p_i(b/s - a_i/s) = ν_p_i(b - a_i) - ν_p_i(s) ≧ n_i 各 j で、ν_q_j(b/s) = ν_q_j(b) - ν_q_j(s) ≧ 0
p が、p_1, ..., p_r, q_1, ..., q_s と異なるとき、 ν_p(s) = 0 だから、ν_p(b/s) = ν_p(b) ≧ 0
よって、x = b/s が求めるものである。 証明終
763 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 13:37:36
>>710, >>711 の前に次の定義を述べたほうが良かった。
定義 A を離散付値環(前スレの645)とし、K をその商体とする。 m を A の極大イデアルとする。 x ≠ 0 を K の元とする。xA = m^n となる 整数 n が一意に定まる。n = ν(x) と書く。 ν(0) = ∞ と定義する。 ここで ∞ は、任意の有理整数より大きい単なる記号と定義するだけで、 有理整数との演算は定義しない。
ν は、次の性質を持つ(証明は自明)。
1) ν(K^*) = Z、ここで K^* は K の乗法群であり、Z は有理整数環。
2) ν は K^* から Z への群としての射を定める。 つまり、 x ≠ 0, y ≠ 0 を K の元とすると、ν(xy) = ν(x) + ν(y)
3) K の元 x, y に対して ν(x + y) ≧ min(ν(x), ν(y))
ν を A で定まる離散付置とよぶ。
764 ：king 氏：2006/01/19(木) 13:57:12
飽田。
765 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 13:58:27
次の離散付置の性質は、定義から簡単に出るが、>>763 の 2), 3) だけからも出る。
命題 A を離散付値環とし、K をその商体とする。 ν を A で定まる離散付置とする(>>763) 。 K の元 x, y に対して ν(x) > ν(y) なら ν(x + y) = ν(y) である。
証明 x ≠ 0 と仮定してよい。
>>763 の 2) から (-1)^2 = 1 より 2ν(-1) = 0 よって ν(-1) = 0 よって ν(-x) = ν(x) である。
>>763 の 3) から ν(x + y) ≧ ν(y) である。
ν(x + y) ≧ ν(x) なら、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x) となり矛盾。 よって、ν(x + y) ≦ ν(x) である。 よって、ν(y) = ν(x + y - x) ≧ν(x + y) となる。 証明終
766 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 14:14:45
>>762から>>760が簡単にでる。
>>760の命題の別証(本質は同じだが)
記号の意味は>>760と同じとする。 各 i において K の元 t_i で ν_p_i(t_i) = 1 となるものをとる。
>>762から K の元 x で ν_p_i(x - (t_i)^(n_i)) ＞ n_i, i = 1, ..., r となり、 p_1, ..., p_r と異なる極大イデアル p に関して ν_p(x) ≧ 0 となるものが存在する。 >>765より、ν_p_i(x) = n_i だから、この x が求めるものである。 証明終
767 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 14:33:21
命題 A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)でDedekind整域(>>601) とする。A は単項イデアル整域である。
証明 p_1, ..., p_r を A の相異なる極大イデアルの全体とする。 I を A の非零イデアルとする。 各 i において IA_p_i = (p_i)^(n_i)A_p_i とする。 A の元 x で ν_p_i(x) = n_i, i = 1, ..., r となるものが存在する。 各 i において IA_p_i = xA_p_i だから、>>692 より I = xA である (>>692 を使わなくても I と xA のそれぞれの素イデアルの積による 分解を考えれば明らか)。 証明終
768 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/19(木) 15:27:51
命題 A をDedekind整域(>>601)とし、I をその非零イデアルとする。 x ≠ 0 を I の任意の元とする。 I = (x, y) となる y ≠ 0 が存在する。
証明 I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。 ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。 xA ⊂ I だから、xA = IJ となるイデアル J が存在する (J = (xA)I^(-1) とすればよい).
J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外 のものを q_1, ..., q_s とする。
>>742より、 各 i において ν_p_i(y) = n_i 各 j において ν_q_j(y) = 0 となるものが存在する。
yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。 よって、J + L = A である。 よって、(x, y) = IJ + IL = I(J + L) = I である。 証明終
769 ：king 氏：2006/01/19(木) 22:21:44
Dedeking 環
770 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/19(木) 22:26:07
talk:>>769 私を呼んだか？
771 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/20(金) 10:51:31
代数体(つまり有理数体の有限次拡大体)の整数論の基礎を学ぶのが このシリ－ズの目的である。 代数体というのは非常に深く神秘的とも言える対象なので、 これをいきなり直接調べるのは得策ではない。 DedekindやHilbert、高木のような古典的、直接的な方法も味があるが、 我々には彼等の時代にはなかった、可換代数やホモロジー代数、 位相群論などの強力な道具があるので、これ等を利用しない手はない。
飯高の代数幾何学(岩波)の序文の比喩をまねて、宇宙人が人間を 調べる場合を考えよう。人間固有の性質を調べるのが最終目的 としても、いきなりこれを調べるのは得策ではない。 まず、人間は動物であり、動物は生物であるから、 生物一般の性質を調べるのが先だろう。 同様に代数体の主整環は、Dedekind整域であるから、 我々はまずDedekind整域を調べることにした。 Dedekind整域はネーター整閉整域であるから、 ネーター整閉整域の一般論も有効である。
さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、 つまり類人猿の研究も有効である。 代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。 代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、 どっちがより深いとも言えないが。
772 ：１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 11:05:09
クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ さぁかかってこいや！
773 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/20(金) 11:47:45
>>730は代数多様体について離散付値の役割を述べたが、 これは既約かつ被約で正規な分離的ネータースキームでそのまま 成立つ。特に A をネーター整閉整域として Spec(A) で成立つ。
このような見方は代数体の整数論でも有効である。 この見方からすると、Dedekind整域 A の極大イデアル p は、 A が定める幾何的対象、つまり Spec(A) の点であり、 A の商体 K の元 f は Spec(A) の有理関数と見なされる。 p が定める離散付値をν_pとすると、ν_p(f) は、f の p における 零点または極の位数を表すと考えられる。
774 ：１３２人目の素数さん：2006/01/20(金) 11:50:58
>>772 (@_@) ↑king召還の魔法
775 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/20(金) 12:19:46
talk:>>772 お前に何が分かるというのか？ talk:>>774 私を呼んだか？
776 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 05:00:19
クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ さぁかかってこいや！クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ さぁかかってこいや！
777 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 05:54:34
てゆーか、高校で芭蕉やウェルギリウスを教えてる現状は問題ありかと。 そんなのを廃止したら時間の余裕ができるから、群・環・体にはじまって、 有限体とかｐ進体とか、２次体、円分体くらいまで、高校で出来るね。
778 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/21(土) 09:19:46
talk:>>776 何故[>>625]には注意しないのか？
779 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 09:53:25
>>777 芭蕉はわかるが、ウェルギリウスは何をやってるの？
ラテン文学は結構好きだよ。
780 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 21:23:51
ブルバキスレ http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1042548616/ に書いたが、レスがないのでこちらへ。
ブルバキ可換代数第７章に 通常 Fitting ideal と呼ばれている物を絶対にこの言葉を持ち出さずに determinantal ideal としか書いてないのは何故？
781 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 21:41:13
>>780 スレ違い。 糞スレ貼るな、蛆虫が！ 誰のスレだと思って嫌がる？ あん？言ってみろ！
782 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 21:50:43
>>781 無知な奴は消えろ
783 ：１３２人目の素数さん：2006/01/21(土) 22:09:19
>>782 >>776 > クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ > さぁかかってこいや！クソkingの荒らしに打ち勝つのが、このスレの目的である！ > さぁかかってこいや！
784 ：１３２人目の素数さん：2006/01/22(日) 01:00:30
無知蒙昧で、役立たずな 208 と 9208 は早急に出て行け
785 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 11:02:41
次の命題も >>768と同じ方法で証明される。
命題 A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする (I = J であってもよい)。 J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で IL が単項イデアルとなるものが存在する。
証明 I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) を I の素イデアル分解とする。 ここで、p_1, ..., p_r は A の相異なる(非零)素イデアルである。 J の素イデアル分解に現れる(非零)素イデアルで p_1, ..., p_r 以外 のものを q_1, ..., q_s とする。
>>742より、 各 i において ν_p_i(y) = n_i 各 j において ν_q_j(y) = 0 となる y ∈ A が存在する。 yA ⊂ I だから yA = IL となるイデアル L が存在する y の取り方から J と L は共通の素イデアル因子を持たない。 よって、J + L = A である。 証明終
786 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 11:40:02
補題 A を整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を 含まないものとする。S による A の局所化 A_S が体なら A_S は A の商体 K と一致する。
証明 x を K の任意の元とする。x = a/b とかける。 ここに、a と b ≠ 0 は A の元である。 仮定より、1/b ∈ A_S である。よって x = a/b ∈ A_S である。 よって、K ⊂ A_S である。A_S ⊂ K は明らかだから A_S = K である。 証明終
787 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 11:42:46
命題 A をDedekind整域とし、S をその積閉部分集合(前スレの63)で 0 を 含まないものとする。S による A の局所化 A_S が A の商体 K と 一致しないとする。 このとき、A_S はDedekind整域である。
証明 >>584 より A_S は整閉整域である。 A はネーターだから A_S もネーターである。
前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合}
と同一視される。よって、A_S の 非零素イデアルは極大である。
つまり、dim(A_S) ≦ 1 となる。
>>786 より A_S は体でないから、dim(A_S) ≠ 0 よって dim(A_S) = 1 である。 証明終
788 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 12:25:50
>>785 から >>768 が容易に出る。
789 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 12:26:41
命題 A をネーター整閉整域とし、p_1, ..., p_r を A の相異なる 高さ１の素イデアルとする。S = (A - p_1)∩...∩(A - p_r) とおく。 このとき、A_S は単項イデアル整域である。
証明
前スレの81より、Spec(A_S) は T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合}
と同一視される。A - S = p_1∪...∪p_r だから、
T(S) = {p ∈Spec(A); p ⊂ p_1∪...∪p_r } である。
前スレの579より、p ∈Spec(A), p ⊂ p_1∪...∪p_r なら、
p ⊂ p_i となる i がある。p_i の高さは１だから、p = 0 または
p = p_i である。よって、T(S) = {0, p_1, ..., p_r} である。
よって A_S は 0 以外の素イデアルを持つから体でない。
よって dim(A_S) = 1 である。
>>584 より 整閉整域である。 A はネーターだから A_S もネーターである。 よって、A_S はDedekind整域である。 >>767 より A は単項イデアル整域である。 証明終
790 ：１３２人目の素数さん：2006/01/23(月) 15:17:20
あ～あ
791 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 16:13:52
代数的整数論には余り関係ないが、行きがかり上、ネーター整閉整域、 特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。 興味ない人は無視しても問題ないだろう。
定義 A を環とする。A の任意の素イデアル p に対して A_p が整閉整域 であるとき A を正規環と呼ぶ。
792 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/23(月) 16:16:20
命題 A をネーター環とする。A の任意の極大イデアル m に対して A_m が 整域なら A は有限個の整域の直積と同型である。
証明 前スレの224より、A の極小素イデアルは有限個である。 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。
x ∈ p_1∩...∩p_r をとる。
前スレの212, 213, 222 より、A 任意の極大イデアル m に対して、
p_i ⊂ m となるi がある
(前スレの455よりdim(A_m) が有限からも分かる)。
p_iA_m は 整域 A_m の極小素イデアルであるから 0 である。
よって xA_m = 0 である。よって s ∈ A - m で sx = 0 となる
ものがある。I = {a ∈ A; ax = 0} とおく。
I ≠ A とすると I ⊂ m となる極大イデアル m があるから矛盾と
なる。よって I = A であり、x = 0 となる。
よって、p_1∩...∩p_r = 0。
i ≠ j のとき p_i + p_j ⊂ m となる極大イデアル m があるとする。 p_i ≠ p_j だから p_iA_m ≠ p_jA_m であるが、 上で述べたように p_iA_m = p_jA_m = 0 であるがこれは有り得ない。 よって p_i + p_j = A である。
よって中国式剰余定理(前スレの341)より A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。 証明終
793 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 09:59:37
>>768の命題は、次のようにやや拡張して述べたほうが良かった。
命題 A をDedekind整域(>>601)とし、I, J をその非零イデアルとし、 J ⊂ I とする。 I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。
証明は >>768 と同様なので省略する。
794 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10:09:26
>>785は、>>793 からも出る。
命題 A をDedekind整域とし、I, J をその非零イデアルとする (I = J であってもよい)。 J と素なイデアル、つまり J + L = A となるイデアル L で IL が単項イデアルとなるものが存在する。
証明(Van der Waredenの教科書より) >>793 から I = IJ + yA となる y ≠ 0 が存在する。 yA ⊂ I だから、yA = IL となる A の非零イデアル L がある。 I = IJ + yA = IJ + IL = I(J + L) よって J + L = A である。 証明終
795 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10:19:32
逆に >>793 は >>785 から出る。
命題 A をDedekind整域(>>601)とし、I, J をその非零イデアルとし、 J ⊂ I とする。 I = J + yA となる y ≠ 0 が存在する。
証明 J = IL となる非零イデアル L がある。 >>>785 より IR = yA で、L + R = A となる非零イデアル R がある。 よって I = I(L + R) = IL + IR = J + yA である。 証明終
796 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10:20:51
>>794 と >>795 より、>>785 と >>793 は同値である。
797 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 10:25:57
>>793 は明らかに次の命題と同値である。
命題 A をDedekind整域(>>601)とし、I をその非零イデアルとする。 A/I の任意のイデアルは単項である。
798 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 11:06:10
命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 A は有限個のネーター整閉整域の直積と同型である。
証明 A の極小素イデアル全体を p_1, ..., p_r とする。 >>792の証明より、 A は (A/p_1) x ... x (A/p_r) と標準的に同型である。 任意に p_i をとり、p_i ⊂ m となる A の極大イデアル m をとる。 仮定より A_m は整域だから p_iA_m = 0 である。 よって、(A/p_i)_m = A_m/p_iA_m = A_m である。 A_m は整閉だから >>612 より A/p_i も整閉である。 A/p_i がネーターなのは明らか。 証明終
799 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 11:21:51
命題 A を１次元ネーター正規環(>>791)とする。 A は有限個(０個も含む)の体と少なくとも一個の有限個のDedekind整域 の直積と同型である。
証明 >>798 より明らかだろう。
800 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/24(火) 11:52:10
>>771 >さらに比喩を続けると、人間を研究するのにその類似物、 >つまり類人猿の研究も有効である。 >代数体の場合は１変数代数関数体がこれに当る。 >代数体と１変数代数関数体は共に深い対象であり、 >どっちがより深いとも言えないが。
有限体上の１変数代数関数体においてはリーマン予想の類似は ５０年以上前にWeilにより解決されている。 よく知られているように代数体の場合は未解決。 この点で、代数体の方が深いと言える。
