最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時29分46秒
代数的整数論 II(801-900)
元スレ： http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/801-900
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/801-900
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/801-900
801 ：１３２人目の素数さん：2006/01/24(火) 11:56:53
よく知られているように、 一般の可換環の場合は解決への道はいたって遠い。 この点で、可換環の方が深いと言えるww
802 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/24(火) 13:55:49
こんにちは、9208 ◆lJJjsLsZzw くん。
803 ：king 氏 ね：2006/01/24(火) 21:12:46
>>802 私を呼んだか？
804 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/24(火) 21:35:21
talk:>>803 お前に何が分かるというのか？
805 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09:23:18
補題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 C の元 (a, b) が非零因子であるためには、a と b がそれぞれ A と B の非零因子であることが必要十分である。
証明 明らか。
806 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09:28:35
命題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 Q(C) = Q(A) x Q(B) である。ここで Q(C), Q(A), Q(B) は それぞれ C, A, B の全商環を表す。
証明 >>805 より明らか。
807 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09:44:24
命題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。 >>806 より Q(C) = Q(A) x Q(B) である。 Q(C) の元 z = (x, y), x ∈ Q(A), y ∈ Q(B) が C 上整(前スレの506) であるためには x と y がそれぞれ A, B 上整であることが 必要十分である。
証明 簡単なので読者にまかす。
808 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09:47:35
命題 A, B を環とする。 C = A x B を A と B の直積とする。 Q(C), Q(A), Q(B) をそれぞれ C, A, B の全商環とする。 C が Q(C) において整閉であるためには、A, B がそれぞれ Q(A), Q(B) において整閉であることが必要十分である。
証明 >>807 より明らか。
809 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 09:53:05
命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 A はその全商環において整閉である。
証明 >>798 と >>808 よりでる。
810 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 10:33:02
次の命題は >>555 をやや一般にしたものであり、その証明も 同様である。
命題 A を１次元のネーター局所環とし、 m をその極大イデアルとする。 m の元がすべて A の零因子ではないとする。 A がその全商環 B において整閉なら A は離散付値環である。
証明
a を m の非零因子とする。
p を A の素イデアルで a ∈ p とする。
p が A が極小素イデアルとすると p ∈ Ass(A) である(前スレの146)
から a は A の零因子となって(前スレの180)矛盾。
仮定より dim(A) = 1 だから p = m である。
よって Supp(A/aA) = {m} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(前スレの99)、
Ass(A/aA) = {m} となる。
よって、b ∈ A で b ≠ 0 (mod aA),
mb ⊂ aA となるものがある。
よって m(b/a) ⊂ A となる。 ここで b/a ∈ B である。
b ≠ 0 (mod aA) だから b/a は A に含まれない。
m(b/a) = m と仮定する。>>551 の証明と同様にして b/a が
A 上整となって矛盾。よって >>553 の証明と同様に
m(A:m) = A である。
>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として
A に同型。よって m は単項である。
m は非零因子を含むから >>568 よりA は離散付値環である。
証明終
811 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 11:17:20
補題 A を環とする。 I, J を A の分数イデアル(>>707)とする。 IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。
証明 >>684 と同様なので読者にまかす。
812 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 11:23:51
>>802 無視されてやんのｗ
813 ：9208 ◇lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 11:57:52
>>812 荒らすな、クズが！ このスレに書いたことを一つでも理解できるか？ オチこぼれ！
814 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 12:02:06
次の命題は >>616 をやや一般にしたもの。
命題 A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。 つまり、I は A の非零因子を含むイデアルである。 このとき、I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。
証明
I ≠ A と仮定してよい。
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
I は非退化だから各 p_i は非退化な極大イデアルである。
よって、ht(p_i) = 1 だから、
p_i は Supp(A/I) の極小元である。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる
(この記法に関しては前スレの543を参照)。
>>810 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。 よって、>>615 の証明と同様にして、q_i = (p_i)^(n_i) となる。
前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。 証明終
815 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 12:05:50
>>810 >m の元がすべて A の零因子ではないとする。
m が A の少なくとも一個の非零因子を含むとする。
816 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 12:17:57
>>810 >>>361 より Pic(A) = 0 である。つまり m は A-加群として >A に同型。よって m は単項である。
m(A:m) = A だから m は可逆(>>430)である。 よって >>509 より m は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。 >>>361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。
817 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:05:51
>>814の証明に不備があったので、それを修正するため いくつかの補題を用意する。
補題 A をネーター局所環で、m をその極大イデアルとする。 m が可逆(>>430)なら A は離散付値環である。
証明 今までに同じような証明を何度もしたから明らかだが念のために 証明する。
>>509 より m は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。 >>>361 より Pic(A) = 0 だから m は A-加群として A に同型。よって m は単項である。m は A に同型だから m の生成元はべき零では有り得ない。 よって >>568 より A は離散付値環である。 証明終
818 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:06:31
補題 A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 A の非退化(>>431)な極大イデアルは可逆(>>430)である。
証明 >>810と同様である。
819 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:10:28
命題 A を 次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 m を A の非退化(>>431)な極大イデアルとする。 A_m は離散付値環である。
証明 >>818 より m は可逆である。 よって mA_m も可逆である。 よって >>817 より A_m は離散付値環である。 証明終
820 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:11:53
訂正： >>814 >>810 より A_(p_i) は離散付値環であるから、
>>819 より A_(p_i) は離散付値環であるから、
821 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:21:10
命題 A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 A の非退化(>>431)なイデアルは可逆(>>430)である。
証明 I を A の非退化なイデアルとする。 >>814 より I は、非退化な極大イデアルの有限個の積に分解される。 >>818 より A の非退化な極大イデアルは可逆である。 よって I は可逆イデアルの有限個の積だから可逆である。 証明終
822 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:39:27
命題 A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 A の分数イデアル(>>707)は可逆(>>430)である。
証明 M を A の分数イデアルとする。 定義(>>707) より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 M は非退化だから >>434 より A の非零因子 t で t ∈ M となるもの がある。よって st ∈ sM となり sM は非退化である。 よって >>821 より sM は可逆である。 M = (sM)(1/s)A であり、(1/s)A は可逆だから M も可逆である。 証明終
823 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:49:30
命題 A を環とし、その全商環(>>362)を B とする。 B の A-加群としての部分加群 M が可逆(>>430)なら M は A の分数イデアル(>>707)である。
証明 >>501 より M は非退化(>>431)である。 >>504 より M は有限生成である。 よって A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 よって M は分数イデアルである。 証明終
824 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 16:53:20
命題 A を次元１のネーター環で、B をその全商環(>>362)とする。 A は B において整閉とする。 A の分数イデアル(>>707)と B の A-加群としての可逆(>>430)部分加群 は同じものである。
証明 >>822 と >>823 より。
825 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 17:04:01
>>791 >>代数的整数論には余り関係ないが、行きがかり上、ネーター整閉整域、 >>特にDedekind整域の理論を整域とは限らない環に拡張してみよう。 >>興味ない人は無視しても問題ないだろう。
代数的整数論に関係ないこともないな。 有理数体上の有限次代数における有理整数環の整閉包などをは、 代数的整数論の対象と言ってもいいだろう。
826 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/25(水) 17:19:58
定義 A をネーター環とする。 A の高さ１の素イデアル全体の集合で生成される自由アーベル群 を A の因子群(divisor group)とよび、Div(A) と書く。 その元を因子(divisor)と呼ぶ。
827 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 18:55:44
>>813 無意味なスレは落書き帳となる運命にある。2chの法則。
828 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 20:22:31
荒らされたくなければ sage ようや
829 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 21:15:07
talk:>>828 お前に何が分かるというのか？
830 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 21:39:03
>>829 荒らすんじゃない。 いい加減に sage を覚えろ。そんなんだからウザキングって言われるんじゃ。
831 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 21:41:44
talk:>>830 お前に何が分かるというのか？
832 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 21:54:22
>>831 俺に文句を言うなら sage を覚えてからにしろや。
833 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 22:25:25
kingはJaneStyleをつかってる（kingが自分で言ってた JaneStyleは最初sageになっている つまりkingはわざとsageチェックをはずすというふうに設定してるわけだ
834 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 22:32:11
talk:>>832 お前に何が分かるというのか？
835 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 22:45:36
>834 とりあえず sage ろ。 糞コテってどうしてこう自己顕示欲が強いんだ？ 9208 も sage ようや。
836 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 22:51:09
talk:>>835 お前に何が分かるというのか？
837 ：9208 ◇lJJjsLsZzw：2006/01/25(水) 22:52:30
>>835 仕切るな、オチこぼれ！
838 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 22:52:51
>>836 お前はメール蘭に sage と入れるべきだ。
839 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 22:59:54
talk:>>838 お前に何が分かるというのか？
840 ：king 氏 ね：2006/01/25(水) 23:02:35
>>839 お前は sage を覚えろ
841 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 23:46:32
俺は誰だ！
842 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/25(水) 23:48:57
変なことばかり書いて、明日9208くんに叱られるぞ。
843 ：1：2006/01/26(木) 00:31:53
キングよ。何故その様に一々答えて、スレを荒らすのか？ 病気の所為か？
それとも、2ch に雇われた盛り上げ役なのか？
844 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/26(木) 07:35:15
talk:>>840 お前に何が分かるというのか？ talk:>>843 私を呼んだか？
845 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 09:05:23
>>835
sage方を教えてくれ。
846 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 09:06:06
>>845メール欄に半角で sage と入れる。
847 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 09:10:18
sage test
848 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 09:30:19
以下の個所を補足説明する。
>>819 >>>818 より m は可逆である。 >よって mA_m も可逆である。
>>509より m は A 上の射影加群である。 よって >>207 より mA_m は A_m 上の射影加群である。 m は可逆だから非退化であり、>>434 より A の非零因子を含む。 A_m は A 上平坦だから、A の非零因子は A_m の非零因子であり、 mA_m も非退化である。よって >>511 より mA_m は可逆である。
849 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 10:56:54
補題 A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 a ∈ m が A の非零因子とする。 A/aA は A-加群として長さ有限である。
証明
aA ⊂ p となる A の素イデアルをとる。
ht(m) = 1 だから p ≠ m とすると p は A の極小イデアルである。
よって p ∈ Ass(A) である(前スレの146) から a は A の零因子と
なって(前スレの180)矛盾。よって p = m である。
Supp(A/aA) = {m} だから、A/aA は 長さ有限である(前スレの345)。
証明終
850 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 11:14:59
命題 A をネーター環とする。 I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 p を A の高さ１の素イデアルとする。 A_p/IA_p は A_p-加群として長さ有限である。
証明 I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから A_p/IA_p = 0 は 明らかに長さ有限である。 よって I ⊂ p とする。
>>509 より I は A-加群として階数１(>>253)の射影加群である。 >>355 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の射影加群である よって、>>340 より IA_p は A_p-加群として階数 １ の自由加群である。 a/s を IA_p の A_p-自由加群としての基底とする。 ここで、a ∈ I, s ∈ A - p である。 明らかに a/s は A_p の非零因子である。 IA_p = (a/s)A_p だから >>849 より A_p/IA_p は A_p-加群として 長さ有限である。 証明終
851 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 11:31:31
命題 A をネーター環とする。 I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる A の高さ１の素イデアル p は 有限個である。
証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 I ⊂ p でないなら IA_p = A_p だから leng(A_p/IA_p) = 0 である。
I ⊂ p とする。 I ⊂ q ⊂ p となる素イデアル q があるとする。 ht(p) = 1 だから q ≠ p とすると q は A の極小イデアルとなり、 >>849 の証明と同様にして I の元がすべて A の零因子となる。 これは I が可逆でありしたがって非退化であるから(>>501) 有り得ない。よって、p は Supp(A/I) の極小元である。 前スレの146より p ∈ Ass(A/I) だから、このような p は有限個である。 証明終
852 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 11:48:25
A をネーター環とし、I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を
div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p
により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。 >>850 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、 >>851 により、leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから div(I) は明確に定義される。
853 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 12:04:16
>>852 の定義は EGA IV-4 による。 EGAとは記号が異なるが。 EGAでは Div(Spec(A)) は Spec(A)のCartier因子群 すなわち A の可逆分数イデアル群を表す。
854 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 12:24:41
補題 A を１次元のネーター局所環とし、m をその極大イデアルとする。 s ∈ m と t ∈ m が A の非零因子とする。 このとき、次の式が成立つ。
leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA)
証明 >>849 から上の式の各項は有限である。
A ⊃ sA ⊃ stA だから sA/stA が A/tA と同型であることを 示せばよい。
A の元 a に sa を対応させて、A-加群としての射 A → sA を定義する。 これは射 A/tA → sA/stA を誘導する。 これは明らかに全射である。
これが単射なことは以下のことからわかる。 s は非零因子だから sa = stb なら a = tb である。 ここで a と b は A の元である。 証明終
855 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13:30:05
>>854 は s または t が m に含まれない場合もトリビアルに成立つ。
何故なら、s が m に含まれないなら s は A の可逆元であり、 sA = A となり、stA = tA となるから、 leng(A/stA) = leng(A/sA) + leng(A/tA) の両辺とも、leng(A/tA) となる。
856 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13:37:19
命題 A をネーター環とする。 I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。
証明 div(I) の定義(>>852)と、>>850 の証明、及び >>854 と >>855 から 明らか。
857 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13:50:04
補題 A をネーター環とする。 I_1, I_2, J_1. J_2 を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 I_1/J_1 = I_2/J_2 なら、 div(I_1) - div(J_1) = div(I_2) - div(J_2) となる。
ここで、一般に A のイデアル I, J に対して I/J は J^(-1) を J の 逆分数イデアルとしたとき、I(J^(-1)) を意味する。
証明 I_1/J_1 = I_2/J_2 より、(I_1)(J_2) = (I_2)(J_1) である。 よって、>>856 より上記の式が出る。 証明終
858 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 13:56:41
定義 A をネーター環とする。 >>548 より A の可逆分数イデアル群 I(A) の任意の元 M に対して、 I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、 M = I/J と表現される。 div(M) = div(I) - div(J) と定義する。 これは、>>857 により I, J の取り方によらない。
859 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 14:35:38
A をネーター環とする。 >>858 により A の可逆分数イデアル群 I(A) から 因子群 Div(A) (>>826) の準同型 div: I(A) → Div(A) が得られる。
860 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 14:57:49
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861 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 16:01:20
命題
A をネーター正規環(>>791)とする。
I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
Ass(A/I) = {p ∈ Spec(A); ht(p) = 1 で I ⊂ p}
となる。
証明 p ∈ Ass(A/I) とする。 前スレの 95 より Ass(A_p/IA_p) = Ass(A/IA) ∩ Spec(A_p) である。 よって、p ∈ Ass(A_p/IA_p) となる。 A_p は整閉なネーター局所整域で、IA_p は 0 でない単項イデアル だから(>>850の証明参照)、>>589(及びそれの >>590, >>602 による修正) より A_p は離散付値環である。よって ht(p) = 1 である。
逆に p が高さ１の素イデアルで、I ⊂ p なら >>851 の証明より、 p ∈ Ass(A/I) 証明終
862 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 16:35:49
命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 IA_p = JA_p が I ⊂ p または J ⊂ p となる A の高さ１の素イデアル p で成立つなら、 I = J である。
証明
I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解
(前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
>>861より ht(p_i) = 1 である。
よって、p_i は Supp(A/I) の極小元である(>>851 の証明からも分かる)。
よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる
(この記法に関しては前スレの543を参照)。
I ⊂ p とならない高さ１の素イデアル p に対しては
IA_p = A_p である。以上から I は A のすべての高さ１の素イデアル
p に対する IA_p で一意に決まる。
J についても同様だから、本命題の仮定より I = J となる。
証明終
863 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17:11:40
補題 A を離散付値環とし、m をその極大イデアルとする。 任意の整数 n ≧ 0 にたいして leng(A/m^n) = n である。ここで、leng(A/m^n) は A-加群としての A/m^n の長さ。
証明 A-部分加群の列 A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^n を考える。
任意の整数 i ≧ 0 にたいして leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。
m の生成元を t とする。 A の元 x に (t^i)x を対応させることにより、 A-加群の射 A → (t^i)A = (m^i)A を得る。 これに標準射 (t^i)A → (t^i)A/(t^(i+1))A を合成して、 A-加群の射 A → (t^i)A/(t^(i+1))A を得る。 これは明らかに全射である。 この核が tA 即ち m であることも明らか。 よって、A/m = (t^i)A/(t^(i+1))A (同型) である。 証明終
864 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17:14:18
命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 I, J を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 div(I) = div(J) なら I = J である。
証明 I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。 p を A の高さ１の素イデアルとする。 >>555 より A_p は離散付値環である。 よって、IA_p = (p^n)A_p となる整数 n ≧ 0 がある。 >>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。 よって、div(I) = div(J) なら各 p(高さ１の素イデアル) で IA_p = JA_p である。 よって >>862 より I = J である。 証明終
865 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17:17:35
>>864 >I を A のイデアルで可逆(>>430)とする。
この行は余計だった。
866 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17:24:12
命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 >>859の射 div: I(A) → Div(A) は単射である。
証明 M ∈ I(A) とし、div(M) = 0 とする。 M = A を示せばよい。
>>548 より、I, J ∈ I(A), I ⊂ A, J ⊂ A があり、 M = I/J と表現される。 div(M) = div(I) - div(J) だから、 div(I) = div(J) となる。 よって、>>864 より、I = J である。 よって、 M = A である。 証明終
867 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/26(木) 17:27:30
訂正
>>863 >leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 の長さが 1 であることを示せばよい。
leng((m^i)/m^(i+1)) = 1 であることを示せばよい。
868 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 18:13:44
こりないね
869 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 18:35:39
>>868 だまれ！このうすらが！
870 ：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM ：2006/01/26(木) 18:41:16
うすら？
871 ：１３２人目の素数さん：2006/01/26(木) 19:10:14
>>868 あげるな
872 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 09:52:08
本論とはあまり関係ないが>>792と関連して次の命題を証明しておく。 この命題は永田の論文 On the closedness of singular loci(1959年) にlemmaとして載っているが証明は A の 零イデアルの準素分解 を考えれば簡単とあるだけで省略されている。 興味のある読者は、私の証明を見る前に証明を考えてみることを勧める。
命題 A をネーター環とする。 A_p が整域となる A の素イデアル p の集合は Spec(A) の開集合 である。
873 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 10:07:38
>>872 の証明
Ass(A) = {q_1, ..., q_r} とする。
p を A の素イデアルで、A_p が整域であるとする。
前スレの 95 より Ass(A_p) = Ass(A) ∩ Spec(A_p) である。
よって Ass(A_p) = {q_iA_p; q_i ⊂ p} である。
一方、A_p は整域だから、Ass(A_p) = {0} である。
よって、q_i ⊂ p となる i はただ一個で、q_iA_p = 0 である。
i = 1 と仮定して一般性を失わない。
q_1A_p = 0 と q_1 が有限生成であることから s ∈ A - p
で sq_1 = 0 となるものがある。
q_j (j ＞ １) は p に含まれないから、s_j ∈ q_j - p がある。
f = s(s_2)....(s_r) とおく(r = 1 のときは f = s とする)。
f ∈ A - p であり、j ＞ １ のとき f ∈ q_j である。
よって、Ass(A_f) = Ass(A) ∩ Spec(A_f)
= {q_iA_f; f ∈ A - q_i} = {q_1A_f}
である。
さらに、sq_1 = 0 だから fq_1 = 0 である。 よって、q_1A_f = 0 である。
以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p
は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p}
の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
証明終
874 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 10:15:42
訂正
>>873
>以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
>これから Spec(A_f) の任意の元 pA_f に対して (A_f)_(pA_f) = A_p
>は整域である。ここに p は D(f) = {p ∈ Spec(A); f ∈ A - p}
>の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
以上から、Ass(A_f) = {0} となって、A_f は整域である。
これから Spec(A_f) の任意の元 qA_f に対して (A_f)_(qA_f) = A_q
は整域である。ここに q は D(f) = {q ∈ Spec(A); f ∈ A - q}
の元である。D(f) は Spec(A) の開集合で p を含む。
875 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 10:17:40
>>873 の A_f の定義については前スレの162を参照。
876 ：１３２人目の素数さん：2006/01/27(金) 13:48:49
あとは転落の一途だな
877 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 15:12:40
定義
A をネーター環とし、その全商環(>>362)を B とする。 U(B) を B の可逆元のなす乗法群(>>524) とする。 f ∈ U(B) に対して fA は可逆分数イデアルである。 div(fA) を A の単項因子と呼ぶ。 A の単項因子全体は Div(A) (>>826) の部分群をなす。 これを Pr.Div(A) と書く(ここだけの記法)。 Div(A)/Pr.Div(A) を A の因子類群と呼び Cl(A) と書く。
878 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 15:21:51
A をネーター環とし、その全商環(>>362)を B とする。 >>859 の div: I(A) → Div(A) は、 I(A)/P(A) → Cl(A) を誘導する。
ここで、P(A) は A の単項分数イデアル群である(>>539)。 Cl(A) は A の因子類群(>>877) である。
879 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 15:26:51
A がネーター環のときは、I(A)/P(A) = Pic(A) とみなされる(>>541) から、>>878 より div: I(A) → Div(A) は、Pic(A) → Cl(A) を 誘導することになる。
880 ：１３２人目の素数さん：2006/01/27(金) 15:56:07
>>876 あげるな
881 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/27(金) 16:00:49
定義
A をネーター環とする。 D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。 D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体 を動く。n_p は整数で、有限個の p を除いて 0 である。
q ∈ Spec(A) とする。D_q = Σ(n_p)p と書く。 ここで、p は q に含まれる高さ１の素イデアル全体を動く。 D_q は A_q の因子と見なせる。
D_q が A_q の単項因子(>>877) のとき D は q において単項という。
D が A のすべての素イデアルにおいて単項のとき D を局所的に単項な因子と呼ぶ。
882 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/30(月) 13:49:31
命題 A をネーター環とする。 I を A の非退化(>>431)なイデアルとする。 p を A の高さ１の素イデアルで I ⊂ p とする。 p は Supp(A/I) の極小元である。 よって leng(A_p/IA_p) は有限である。 さらに、I ⊂ p となる A の高さ１の素イデアル p は 有限個である。
証明 >>851と同様。
883 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/30(月) 14:40:08
A をネーター環とし、I を A のイデアルで非退化(>>431)とする。 A の因子群 Div(A)(>>826) の元 div(I) を
div(I) = Σleng(A_p/IA_p)p
により定義する。ここで、p は A の高さ１の素イデアル全体を動く。 >>882 により、leng(A_p/IA_p) は有限であり、 leng(A_p/IA_p) ≠ 0 となる p は有限個だから div(I) は明確に定義される。
884 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 14:41:39
880 名前：１３２人目の素数さん ：2006/01/27(金) 15:56:07 >>876 あげるな
おれの勝手だボケ
885 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 15:01:27
>>884 崩れは消えろ
886 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/30(月) 15:05:28
命題 A をネーター正規環(>>791)とする。 I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。
証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 >>555 より A_p は離散付値環である。 I は非退化だから IA_p は 0 でないから IA_p = (p^n)A_p となる整数 n ≧ 0 が定まる。 >>863 より leng(A_p/IA_p) = n である。 J についても同様であるから本命題の主張は明らか。 証明終
887 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 19:04:09
akechi mitsuhide
888 ：１３２人目の素数さん：2006/01/30(月) 19:06:13
shimura goro このgoroはゴロつきのゴロ
889 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 10:25:14
定義 A をネーター環とする。 k ≧ 0 を 整数とする。 p が A の素イデアルで dim(A_p) ≦ k なら常に A_p は 正則局所環(>>571) のとき A は 余次元 k 以下で正則 または性質 (R_k) を満たすという。
890 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 10:31:53
定義 A をネーター環とする。 A の任意の素イデアルで A_p が正則局所環(>>571) のとき A を正則環と呼ぶ。
891 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 10:39:53
命題 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 I, J を A のイデアルで非退化(>>431)とする。 div(IJ) = div(I) + div(J) となる。
証明 p を A の高さ１の素イデアルとする。 >>572 より A_p は離散付値環である。 よって後は >>886 と同様。 証明終
892 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 11:34:36
定義 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 M を A の分数イデアル(>>707)とする。 定義(>>707)より A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。 sM = I とおけば、M = I(1/s) である。 I は非退化イデアルだから、>>883 により div(I) が定義される。 どうように、sA も非退化イデアルだから div(sA) が定義される。
div(M) = div(I) - div(sA) と定義する。
この定義が s の取り方によらないことは、>>891 よりわかる。
893 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 11:48:16
命題 A をネーター環で余次元１以下で正則(>>889)とする。 M, N を A の分数イデアル(>>707)とする。 MN も分数イデアルであり、 div(MN) = div(M) + div(N) となる。
証明 MN が分数イデアルであることは定義(>>707)から明らか。
div(MN) = div(M) + div(N) も 定義(>>892) と >>891 より明らか。
894 ：9208 ◆lJJjsLsZzw ：2006/01/31(火) 12:05:39
定義 A をネーター環とする。 D を Div(A) (>>826) の元、つまり A の因子とする。 D = Σ(n_p)p とする。ここで p は A の高さ１の素イデアル全体 である。すべての高さ１の素イデアル p に対して n_p ≧ 0 のとき D ≧ 0 と書く。D_1, D_2 が A の因子で、D_1 - D_2 ≧ 0 のとき D_1 ≧ D_2 と書く。明らかに、Div(A) は関係 ≧ により順序集合 となる。
895 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 12:49:25
あげるなと言っても２０８が定期的にあげるからだめぽ
896 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18:01:53
>>885は >>895の言うような自明なことがわからない 極め付きのバカ
897 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18:03:44
うすらが
898 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18:05:22
あとは転落の一途だ
899 ：１３２人目の素数さん：2006/01/31(火) 18:06:55
208みたいのを崩れっていうんじゃない
900 ：１３２人目の素数さん：2006/02/01(水) 02:19:15
900
