最終更新日時 2011年03月09日 (水) 22時51分40秒
代数的整数論 007 (811-910)
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811 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09:41:48
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812 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09:42:19
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813 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09:42:50
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814 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09:43:20
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816 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09:44:21
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831 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09:53:26
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832 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09:53:57
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833 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09:54:28
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834 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09:54:58
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835 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 09:55:28
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836 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 10:41:59
定義 X を局所コンパクト空間とする。 X のコンパクトな部分集合全体で生成されるσ-集合環(>>197)に属す 集合を狭義の Borel 集合と言う。
837 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 10:49:09
命題 X を局所コンパクト空間とする。 X の狭義の Borel 集合(>>836)はσ-有界(>>724)である。
証明 >>732 より、X のσ-有界(>>724)な部分集合全体 Ψ は σ-集合環(>>197)である。
Ψ は X の全てのコンパクト集合を含むから全ての狭義の Borel 集合を 含む。 証明終
838 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 11:00:42
命題 X を局所コンパクト空間とする。 X のσ-有界(>>724)な開集合は狭義の Borel 集合(>>836)である。
証明 U をσ-有界な開集合する。 (K_n), n = 0, 1, 2, . . . をコンパクト集合列とし、 U ⊂ ∪K_n とする。
U = ∪(U ∩ K_n) である。 K_n - (U ∩ K_n) = K_n - U はコンパクトであるから、 U ∩ K_n = K_n - (K_n - U) は狭義の Borel 集合である。 よって、U も狭義の Borel 集合である。 証明終
839 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 11:02:31
命題 X を局所コンパクト空間とする。 X のσ-有界(>>724)な閉集合は狭義の Borel 集合(>>836)である。
証明 F をσ-有界な閉集合する。 (K_n), n = 0, 1, 2, . . . をコンパクト集合列とし、 F ⊂ ∪K_n とする。
F = ∪(F ∩ K_n) である。 F ∩ K_n はコンパクトであるから、 F は狭義の Borel 集合である。 証明終
840 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 11:07:45
k
841 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 11:10:15
定義 X を局所コンパクト空間とする。 X の狭義の Borel 集合(>>836)全体を Ψ とする。 Ψ に関して可測(>>213) な関数を狭義の Borel 可測であると言う。
842 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 11:11:31
定義 X を局所コンパクト空間とする。 X の狭義の Borel 集合(>>836)全体で定義される測度 μ は コンパクトな K に対して常に μ(K) ＜ +∞ であるとき 狭義の Borel 測度と言う。
843 ：１３２人目の素数さん：2007/09/08(土) 11:23:08
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844 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 11:27:02
定義 X を局所コンパクト空間とする。 X の狭義の Borel 集合(>>836)全体を Ψ とする。 μ を狭義の Borel 測度(>>842)とする。
狭義の Borel 集合 E ∈ Ψ は
μ(E) = inf {μ(U) | E ⊂ U, 開集合 U ∈ Ψ}
となるとき、(μ に関して)外正則(outer regular)という。
μ(E) = sup {μ(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K ∈ Ψ}
となるとき、(μ に関して)内正則(inner regular)という。
E は外正則かつ内正則なとき正則(regular)であると言う。
全ての狭義の Borel 集合が正則なとき μ を正則と言う。
845 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 17:05:38
>>844 の補足。
全ての狭義の Borel 集合が外正則なとき μ を外正則と言う。 全ての狭義の Borel 集合が内正則なとき μ を内正則と言う。
846 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 18:44:22
命題 X を局所コンパクト空間とする。 μ を X の容量(>>723) とし、 μ^* を容量 μ から誘導された外測度(>>809)とする。
任意のσ-有界な開集合 U に対して μ^*(U) = μ(U) である。
証明
定義(>>734)より、
μ^*(U) = inf {μ(V) | U ⊂ V, V はσ-有界な開集合}
である。
これから明らかである。 証明終
847 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 19:11:44
命題 X を局所コンパクト空間とする。 μ を X の容量(>>723) とし、 μ^* を容量 μ から誘導された外測度(>>809)とする。
σ-有界(>>724)な集合 E が (μ^*)-可測(>>768)であるためには 任意のσ-有界な開集合 U に対して
μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)
となることが必要十分である。
証明 必要性は明らかである。
A をσ-有界な集合とする。 A ⊂ U となる任意のσ-有界な開集合 U に対して、
仮定より、 μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)
>>846 より μ^*(U) = μ(U) だから
μ(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)
μ^*(A) = inf μ(U) だから μ^*(A) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)
逆向きの不等号は μ^* の劣加法性(>>766)から出る。 よって、E は (μ^*)-可測である。 証明終
848 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 20:58:59
命題 X を局所コンパクト空間とする。 μ を X の容量(>>723) とし、 μ^* を容量 μ から誘導された外測度(>>809)とする。
X の任意のコンパクト集合は (μ^*)-可測(>>768)である。
証明 K をコンパクト集合とする。 >>847 より、任意のσ-有界な開集合 U に対して μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ K) + μ^*(U - K) を示せばよい。
K_1 ⊂ U - K となるコンパクト集合をとり K_2 ⊂ U - K_1 となるコンパクト集合をとる。 U - K と U - K_1 はともに σ-有界な開集合である。
K_1 ∩ K_2 = φ K_1 ∪ K_2 ⊂ U
μ^*(U) = μ(U) ≧ μ(K_1 ∪ K_2) = μ(K_1) + μ(K_2)
μ(K_2) の sup をとれば μ^*(U) ≧ μ(K_1) + μ^*(U - K_1)
U ∩ K ⊂ U - K_1 だから μ(U) ≧ μ(K_1) + μ^*(U ∩ K)
μ(K_1) の sup をとれば μ(U) ≧ μ^*(U - K) + μ^*(U ∩ K) 証明終
849 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 21:31:03
命題 X を局所コンパクト空間とする。 μ を X の容量(>>723) とし、 μ^* を容量 μ から誘導された外測度(>>809)とする。
U を開集合 U でその閉包 U~ がコンパクトなものとする。 このとき、 μ^*(U) ≦ μ(U~)
証明 K ⊂ U となる任意のコンパクト集合 K をとる。 μ(K) ≦ μ(U~) である。
μ(K) の sup をとると、 μ(U) = μ^*(U) ≦ μ(U~) 証明終
850 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 21:32:41
命題 X を局所コンパクト空間とする。 μ を X の容量(>>723) とし、 μ^* を容量 μ から誘導された外測度(>>809)とする。
>>778 より、 (μ^*)-可測(>>768)な集合全体 Φ は σ-集合環であり、 μ^* を Φ に制限したものは Φ における測度(>>316)である。 >>848 より Φ は狭義の Borel 集合(>>836)全体 Γ を含む。
このとき、μ^* を Γ に制限したものは 狭義の Borel 測度(>>842)である。
即ち、任意のコンパクト集合 K に対して、 μ^*(K) ＜ +∞ である。
証明 >>704 より、 K ⊂ U ⊂ U~ となる開集合 U でその閉包 U~ がコンパクトな ものがある。
>>849 より、 μ^*(K) ≦ μ^*(U) ≦ μ(U~) ＜ +∞ 証明終
851 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 21:34:57
>>850
μ が一般の容量(>>723)のとき、 μ^*(K) = μ(K) とは限らないことに注意する。
852 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 21:40:31
>>850
狭義の Borel 集合(>>836)全体を Γ と書いたが、 Γ は >>723 で別の意味に使っていた。
したがって、今後、狭義の Borel 集合(>>836)全体を表す文字として Γ は使わないことにする。
853 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/08(土) 22:59:52
補題 μ を狭義の Borel 測度(>>842)とする。
有界な狭義の Borel 集合がすべて外正則(>>845)であれば それらは内正則(>>845)でもある。
証明 A を有界な狭義の Borel 集合とする。 A ⊂ K となるコンパクトな K がある。
K - A は外正則だから、任意の ε ＞ 0 に対して K - A ⊂ U となる開集合 U ∈ Ψ で μ(U) ＜ μ(K - A) + ε となるものがある。
μ(A) - μ(K - U) = μ(A - (K - U)) = μ(A ∩ U) ≦ μ(U - (K - A)) = μ(U) - μ(K - A) ＜ ε
K - U ⊂ A で K - U はコンパクトだから A は内正則である。 証明終
854 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 00:08:48
命題 μ を狭義の Borel 測度(>>842)とする。 有界な狭義の Borel 集合がすべて外正則(>>845)であれば μ は内正則(>>845)である。
証明 A を狭義の Borel 集合とする。 >>837 より A はσ-有界だから コンパクトな部分集合の可算列 (K_n), n ≧ 1 が存在して A ⊂ ∪K_n となる。
A_1 = A ∩ K_1 n ≧ 2 のとき A_n = A ∩ (K_n - (K_1 ∪ . . . K_(n-1))) とおけば A = ∪A_n で、i ≠ j のとき A_i ∩ A_j = φ ある。
>>853 より各 A_n は内正則(>>845)であるから、 任意の ε ＞ 0 に対して C_n ⊂ A_n μ(A_n) ＜ μ(C_n) + ε/2^n となるコンパクトな C_n がある。 C = ∪A_n とおく。
μ(A) = Σμ(A_n) ≦ Σμ(C) + ε = μ(C) + ε
ε → 0 とすれば μ(A) ≦ μ(C) 即ち μ(A) = μ(C) よって μ(A) = lim μ(C_1 ∪. . . ∪ C_n) よって A は内正則である。 証明終
855 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 00:17:59
定義 X を局所コンパクト空間とする。 μ を X の容量(>>723) とし、 μ^* を容量 μ から誘導された外測度(>>809)とする。 >>850 より、μ^* を狭義の Borel 集合(>>836)全体に制限したものは 狭義の Borel 測度(>>842)である。 この測度を容量 μ から誘導された狭義の Borel 測度という。
856 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2007/09/09(日) 00:28:34
命題 X を局所コンパクト空間とする。 X の容量(>>723) μ から誘導された狭義の Borel 測度(>>855)は 正則(>>844)である。
証明 μ^* を容量 μ から誘導された外測度(>>809)とする。
定義(>>808)から狭義の Borel 集合 A に対して
μ^*(A) = inf {μ(U) | A ⊂ U, U はσ-有界な開集合}
である。
>>846 より μ^*(U) = μ(U) である。
即ち μ^* は外正則である。
>>854 より μ^* は内正則である。 証明終
857 ：１３２人目の素数さん：2007/09/09(日) 08:08:08
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858 ：１３２人目の素数さん：2007/09/09(日) 08:08:39
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859 ：１３２人目の素数さん：2007/09/09(日) 08:09:10
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