最終更新日時 2011年03月04日 (金) 21時25分40秒
代数的整数論 II(101-200)
元スレ： http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/101-200
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/101-200
ログ元： http://2se.dyndns.org/test/readc.cgi/science4.2ch.net_math_1132643310/101-200
101 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 13:07:17
>>99 失礼しました。
102 ：208：2005/11/28(月) 13:12:21
A の元を成分とする (m, n)型の行列 X に対して 以下の操作を考える
1) ２つの行を入れ替える 2) ある行の定数倍を別の行に加える
3) ２つの列を入れ替える 4) ある列の定数倍を別の列に加える
5) X の各項に A のある単数(可逆元のこと)を掛ける
これ等は、X に適当な可逆行列を右または左から掛けることに より実現されることは容易にわかる。
103 ：208：2005/11/28(月) 13:37:06
補題 A を単項イデアル整域とする。 a_1, ..., a_n を A の元で、それらで生成されるイデアル (a_1, ..., a_n) が A と一致するとする。 このとき、a_1, ..., a_n を行または列とする可逆行列が存在する。
証明 L = A^n を A-自由加群と見なす。 L の標準基底を e_1, .. e_n とする。 仮定より、Σ(a_i)(b_i) = 1 となる元の列 b_1, ..., b_n が 存在する。 A-加群としての射 f: L → A を、 f(x_1, ... , x_n) = Σ(x_i)(b_i) で定義する。 a = (a_1, ... , a_n) とすれば f(a) = 1 となる。 s: L → A を s(1) = a で定義すれば、fs = 1 である。 よって、前スレの648より 0 → Ker(f) → L → A → 0 は分解する。 つまり、L = Aa + Ker(f) (直和) となる。 前スレの650より Ker(f) は自由だから、 a は L の基底の一部になる。 標準基底 e_1, .. e_n をこの基底に変換する行列が求めるものである。 証明終
104 ：208：2005/11/28(月) 13:43:51
>>103 から (a, b) = (1) のとき、2次の行列 (a, b | c, d) が 可逆となるような c, d が存在することがわかるが、これは 次のように直接にもわかる。
ax + by = 1 とすれば (a, b | -y, x) の行列式は 1 だから (a, b | -y, x) は可逆である。
105 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 14:36:31
ﾄﾃﾓｱﾀﾏﾜﾙｲです
106 ：208：2005/11/28(月) 15:45:32
A がユークリッド整域、例えば有理整数環なら、>>102 の操作で、 行列 X を >>98 のような対角行列に変形出来る。 基本的な方法は X の要素のユークリッド整域としての次数の最小を 基本変形により下げていく。このとき、割り算の公式 b = aq + r deg(r) < deg(a) が本質的である。 ところが、A が一般の単項イデアル整域ではこの公式は使えない。 ところが、以下のアイデアによって、この困難を回避できる。
A の元 a ≠ 0 を素元に分解したときに現れる素元の重複度を込めた個数 を s(a) と書く。例えば p, q を相異なる素元としたとき、 s(qp^2) = 3 である。
このとき、
補題 A の非零元 a, b があり、b は a で割れないとする。 d を a と b の最大公約数とすると、s(d) < s(a) となる。
証明は明らかだろう。
この補題がユークリッド整域の割り算の公式 b = aq + r, deg(r) < deg(a) の代わりになるのである。
107 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 16:14:52
>>105 荒らしは黙ってろ！ ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！ お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！ 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
108 ：208：2005/11/28(月) 16:44:46
補題 A を単項イデアル整域とする。 X = (x_(i,j))を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。 a = x_(1,1), b = x_(1,2) とし、a ≠ 0, b ≠ 0 とする。 a, b の最大公約元を d とする。 可逆な正方行列 U が存在して、XU の (1,1)-要素が d となる ように出来る。
証明 a = da' b = db' とおく。 a' と b' の最大公約元は 1 だから、a'x + b'y = 1 となる x, y が 存在する。 W = (x, -b' | y, a') とすれば、det(W) = 1 であるから W は可逆である(>>104 参照)。 W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (x) E_(n-2) を U とすればよい。 ここで、E_(n-2) は (n-2)次の単位行列。 証明終
109 ：208：2005/11/28(月) 16:47:29
>>108 >W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (x) E_(n-2) を U とすればよい。
W と E_(n-2) の直和行列(>>100) W (+) E_(n-2) を U とすればよい。
110 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 17:44:24
>>107 Who are you?
111 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 17:48:24
674 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/25(金) 15:01:08 勉強も大切だが、心も磨けよ 675 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/25(金) 15:27:05 うすらが
112 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 17:50:47
65 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 22:08:33 ・・・尊敬？ なぜ？（苦笑
208って、写経厨なんでしょ？ まともにブルバキ読んだこと ないから、自分じゃよう判断せんが、でも確かにそんな雰囲気 はあるわいな。だから、別に尊敬なんかしないよ。
絡むなら、きっともっと別のポイントが多々あるだろうに、よ りによって「割り算」ってのが解せないだけっす。他にいくら でも絡みようはあるだろうに、割り厨の低能ぶりはあまりにも 顕著だからナー・・・。 66 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 22:15:31 ちなみに、「恥ずかしい」ってのは、それこそ>>60みたいな 奴のことだと思うよ。
どこぞのスレで誰かが言ってたじゃん。「『匿名なら何を書い ても恥ずかしくない』という態度が恥ずかしい(w」って。これ、 名言だと思うけどね。
まあ何はともあれ、>>60の研究者生活が充実したものである ことを祈るばかりですよ（失笑 67 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/24(木) 22:18:41 頭（というか性格）が少しばかりおかしいねじけ者に 頭の螺子が緩んださらなる精神異常者が挑む、って感じだよねｗ
105 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/28(月) 14:36:31 ﾄﾃﾓｱﾀﾏﾜﾙｲです
113 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 17:59:33
そもそも、（群論の）準同型定理なり同型定理なりってのは、 剰余群（剰余類）の基礎的な理論が土台にある訳だろ？ だか ら、当然「"Gの位数" / "Nの位数" = "G:Nの位数"」なんていう 定理は、（有限群の場合には）既知もいいとこなんじゃないの？ 46 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/23(水) 11:12:06 この定理、名前なんてったっけ？ ライプニッツ？ ラグラ ンジュ？ なんかラ行で始まったと思うんだけどね(^^;
まあなんにせよ、これって明らかに「割り切れる」っていう ステートメントだろ。割り算の存在は、明らかに前提だろ。 だから、割り算抜きでジョルダンヘルダーそのものが議論 できるはずもないだろ。
208に絡んでる馬鹿は、ちょっと見苦しいです・・・。
いまだにこんなことしかかけないのは ほんとに見苦しいです 論点をまるっきり理解してないし ライプニッツとかバカ丸出し
114 ：１３２人目の素数さん：2005/11/28(月) 19:02:00
ところで何故今ブルバキなの？ 今時はやらないんでしょ？
115 ：208：2005/11/29(火) 10:37:22
>>102 の操作 1), 2), 3), 4) と 2次の可逆行列 U と 単位行列 E の直和行列 U (+) E を X の 左または右に掛ける操作を基本操作と呼ぼう。 基本操作を繰り返すことを X の変形と呼ぶことにする。
補題 A を単項イデアル整域とする。 X = (x_(i,j)) を A の元を成分とする (m, n)型の行列で零行列で ないとする。 >>106 で定義した s(x_(i,j)) の最小値を s(X) と書く。 s(X) = s(x_(i,j)) となる要素 x_(i,j) をとる。 X の要素で x_(i,j) で割れないものがあると、X を基本操作で変形して s(Y) < s(X) に出来る。
証明 X の行または列の交換を繰り返して s(x_(1,1)) = s(X) と仮定してよい。 X の１行目に x_(1,1) で割れないものがあると、 >>106 と >>108 より X を Y に変形して、 s(Y) < s(X) と出来る。同様に、X の１列目にx_(1,1) で割れない ものがあると、X を Y' に変形して、s(Y') < s(X) と出来る。 よって、X の１行目と１列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる ように変形出来る。>>102 の操作 2) と 4) を使えば、 １行目と１列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。 よって初めから X はこの形であると仮定してよい。 X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、i 行目を 1 行目 に加えて x_(i,j) を 1 行目 の要素に出来る。i 行目の先頭は 0 だから、x_(1,1) は変化しない。よって、X を変形して Y とし、 s(Y) < s(X) に出来る。 証明終
116 ：208：2005/11/29(火) 10:40:41
>>102 の 5) は不要だった。別にあってもいいが。
117 ：208：2005/11/29(火) 10:48:46
>>98 の定理を再度述べる。
定理 A を単項イデアル整域とする。 X を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。 可逆な正方行列 U と V が存在して、UXV が対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。 ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。
証明 >>115 と min(m, n) に関する帰納法を使えばよい。
118 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 12:01:28
>>114 温故知新
119 ：208：2005/11/29(火) 13:10:27
前にも書いたけど>>117 の証明方法はあまり知られていない (A がユークリッド整域ならあれに似た方法は良く知られている)。
普通は、単項イデアル整域上の有限生成自由加群の部分加群の 基底に関する定理(後で述べる)を構成的でない方法で証明して、 その系として得る。
一般の単項イデアル整域では２元の最大公約元を求めるアルゴリズム があるとは限らないから、あの証明も構成的とはいえない。 しかし、ユークリッド整域なら最大公約元公約元を求める アルゴリズムがあるし(即ちユークリッドの互除法)、 例えば、２次の代数体の整数環でその体の類数が１ならそれが ユークリッド整域でなくても最大公約元を求めるアルゴリズムはある。 何故なら２次体ではイデアルの素イデアル分解を求めるアルゴリズムが あるから(高木の初等整数論)、類数が１なら素元分解のアルゴリズムが あることになる。素元分解出来れば、当然、最大公約元公約元も 求められる。この場合、あの証明は行列の(あの定理のような)対角化の アルゴリズムを与えていることになる。
120 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 14:13:06
>>118
>>107 > 荒らしは黙ってろ！ > ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！ > お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！ > 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
121 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 14:17:24
予備校の仕事大変そうだな
122 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 18:11:31
80 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/25(金) 14:47:42 お前等が叩いたつもりになってるだけだろ。 お前等のスカスカの脳ミソで俺を叩こうとは、呆れる。 割り算がどうだとかこうだとかｗ
ﾐｼﾞﾒﾃﾞｽﾈ
123 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 18:46:14
ﾀﾀｶﾚﾃ ﾀﾀｶﾚﾃ ﾎﾞﾛﾎﾞﾛﾆﾅｯﾃﾓ ｷｶﾞﾂｶﾅｲ ｽｶｽｶﾉ脳
124 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 18:47:44
割り算は208のﾄﾗｳﾏにﾅﾘﾏｼﾀﾈ
125 ：１３２人目の素数さん：2005/11/29(火) 22:20:19
>>122->>124 > 荒らしは黙ってろ！ > ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！ > お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！ > 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
126 ：208：2005/11/30(水) 09:30:03
>>115 >よって、X の１行目と１列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる >ように変形出来る。>>102 の操作 2) と 4) を使えば、 >１行目と１列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。 >よって初めから X はこの形であると仮定してよい。
念のために補足すると、ここで、暗黙に以下の自明な事実を使っている。
X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、c を A の任意の元 としたとき、x_(i,j) + c x_(1,1) も x_(1,1) で割れない。
127 ：208：2005/11/30(水) 10:31:26
>>117 の系として
命題 A を単項イデアル整域とする。 L を階数 m の A-自由加群、M をその 0 でない部分加群とする。 L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r および、A の非零元 a_1, ..., a_r で (a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) となるものがあり、
y_1 = a_1f_1 . . . y_r = a_rf_1
となる。
128 ：208：2005/11/30(水) 10:42:26
>>127 >y_r = a_rf_1
これは y_r = a_rf_r の間違い。
129 ：208：2005/11/30(水) 10:43:27
>>127 の証明 L の基底を e_1, ..., e_m とする。 x1, ..., x_n を M の生成元とする。 各 j (1 ≦ j ≦ n) に対して x_j = Σx_(i,j)e_i とする。 X = (x_(i,j)) とおく。これは、(m,n)-型の行列である。 上の式を行列記法でまとめて書くと (e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n) となる。 >>117 より、可逆行列 U, V があり、UXV は対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。 ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。
(e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n) より (e_1, ..., e_m)XV = (x_1, ..., x_n)V となる。
UXV = Y より、XV = U^(-1)Y だから (e_1, ..., e_m)U^(-1)Y = (x_1, ..., x_n)V
(f_1, ..., f_m) = (e_1, ..., e_m)U^(-1) (y_1, ..., y_n) = (x_1, ..., x_n)V とおけば (f_1, ..., f_m)Y = (y_1, ..., y_n) となる。
U は可逆だから f_1, ..., f_m は L の基底であり、 V も可逆だから y_1, ..., y_n は M の生成元である。 よって、この命題の主張が出る。 証明終
130 ：208：2005/11/30(水) 11:20:39
命題 >>127 の命題のイデアルの列 (a_1), ..., (a_r) は L と M だけで 決まり、L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r の取りかたによらない。 (a_1), ..., (a_r) を M の不変因子と呼ぶ。 単元の違いを無視して、a_1, ..., a_r を M の不変因子と呼ぶ こともある。
証明 L/M は L_1/M = (Af_1 + ... + Af_r)/(Aa_1f_1 + ... + Aa_rf_r) と L_2 = Af_(r+1) + ... + Af_m の直和である。 よって、L_1/M は L/M の捩れ部分(前スレの653) t(L_1/M) である。 よって、この命題は、前スレの712から出る。 証明終
131 ：208：2005/11/30(水) 11:56:49
>>130 の別証明を述べる。
以後、環や代数は特に断らなければ可換とする。
次の補題は前スレにもあるかもしれないが述べておこう。
補題 A を環、B を A-代数、 I を A のイデアルとする。 (A/I)(x)B は標準的に B/IB に A-代数として同型である。 ここで、(A/I)(x)B は A-代数としてのテンソル積。
証明 完全系列 0 → I → A → A/I → 0 より完全系列 I(x)B → A(x)B → (A/I)(x)B → 0 が得られる。 これより明らか。 証明終
132 ：208：2005/11/30(水) 12:03:38
補題 A を環、I, J をそのイデアルとする。 (A/I)(x)(A/J) は A/(I + J) と A-代数として同型である。
証明 A/J = B とおけば、>>131 より (A/I)(x)(A/J) = B/IB = (A/J)/((I + J)/J) = A/(I + J) ここで、等号は同型を表す。 証明終
133 ：208：2005/11/30(水) 12:26:17
補題
A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとする。
M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。
1 ≦ p ≦ n のとき、
(Λ^p)M = ΣA/I_J (直和) となる。ここで、J は {1, ..., n}
の濃度 p の部分集合を走り、I_J は I_k, k ∈ J のイデアル
としての和を表す。
証明 前スレの 751 と 844 から ΛM は Λ(A/I_i), i = 1,..,n の 歪テンソル積である。これと >>132 より明らか。
134 ：208：2005/11/30(水) 14:53:36
補題 A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとし、 I_1 ⊃ ... ⊃ I_n とする。 M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。 1 ≦ p ≦ n のとき、Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) である。
証明 I_1 ⊃ ... ⊃ I_n だから、>>133 の記法で、I_J は I_min(J) である。 一方、一般に A のイデアル I, K に対して 直和 A/I + A/K の 零化イデアル(Annihilator) は I ∩ K である。 よって、ΣA/I_J (直和) の零化イデアルは I_(n-p+1) となる。 よって >>133 より Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) となる。 証明終
135 ：208：2005/11/30(水) 15:18:59
>>134 から >>130 の別証が出ることは明らかだろう。
136 ：１３２人目の素数さん：2005/11/30(水) 17:52:22
予備校で教えるのに飽きたのかな
137 ：１３２人目の素数さん：2005/11/30(水) 18:01:41
荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし
138 ：１３２人目の素数さん：2005/11/30(水) 18:03:56
外積の使い方がいまいちだね
139 ：１３２人目の素数さん：2005/11/30(水) 21:46:58
> 荒らしは黙ってろ！ > ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！ > お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！ > 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
140 ：208：2005/12/01(木) 12:55:25
補題 A を環、n > 0 を整数とし L = A^n を A-自由加群とみる。 L の元 x は縦ベクトルとみなす。 e_1, ..., e_n を L の標準基底とする。 x_1, .., x_p を L の元とする。ここで、1 ≦ p ≦ n である。
x_1 = x_(1,1)e_1 + ... + x_(n,1)e_n . . x_p = x_(1,p)e_1 + ... + x_(n,p)e_n
とすると、A の元を要素とする 行列 X = (x_(i,j)) は (n, p)-型になる。
この行列の各列が x_1, .., x_p である。
J を {1, ..., n} の濃度 p の部分集合とし、J の要素を昇順に並べて
j_1 < ... < j_p としたとき、
X の小行列 (x_(j_i, k)), j_i ∈ J, 1 ≦ k ≦ p を X_J とおく。
このとき (Λ^p)L において、
x_1Λ...Λx_p = Σdet(X_J) e_(j_1)Λ...Λe_(j_p)
となる。ここで J は {1, ..., n} の濃度 p の部分集合全体を動く
証明 外積の交代性(前スレの 744, 746)より明らかだろう。
141 ：１３２人目の素数さん：2005/12/01(木) 13:55:55
荒らしども！ ありがたく読ませてもらえ！ まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
142 ：１３２人目の素数さん：2005/12/01(木) 14:07:26
>>141 煽りとしてはおもしろくない バカはこの程度のことしかおもいつかないらしい
143 ：208：2005/12/01(木) 16:21:43
補題 A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 n のA-自由加群とする。 e_1, ..., e_n を L の基底とする。 x を L の元とし、x = Σ a_i e_i, a_i ∈ A とする。 つまり、(a_1, ..., a_n) は x の 基底 e_1, ..., e_n に関する 座標である。 他方、f_1, ..., f_n を L の別の基底とし、 x = Σ b_i f_i, a_i ∈ A とする。 このとき、各 b_i は a_1, ..., a_n の一次結合で表される。
証明 明らかと思うが、念のために証明しよう。 行列記法を使う。 x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)' である。ここで、(a_1, ..., a_n)' は転置行列、この場合は (a_1, ..., a_n) を縦ベクトルにしたものを表す。 (e_1, ..., e_n) = (f_1, ..., f_n)U となる n 次の可逆行列 U がある。 よって、 x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)' = (f_1, ..., f_n)U(a_1, ..., a_n)'
一方、 x = (f_1, ..., f_n)(b_1, ..., b_n)' である。 よって、 (b_1, ..., b_n)' = U(a_1, ..., a_n)' である。 証明終
144 ：208：2005/12/01(木) 16:26:21
補題 A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 m のA-自由加群とする。 e_1, ..., e_m を L の基底とする。 M を L の部分加群とし、x_1, .., x_n をその生成元とする。 x_j = Σx_(i,j)e_i, 1 ≦ j ≦ n とする。 x_(i,j) を要素とする行列を X = (x_(i,j)) とする。
他方、f_1, ..., f_m を L の別の基底とし、 y_1, .., y_n を M の別の生成元とする。 y_j = Σy_(i,j)f_i, 1 ≦ j ≦ n とし、 Y = (y_(i,j)) とする。
p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。
I ⊂ {1, ... , m}, J ⊂ {1, ... , n} で |I| = |J| = p とする。
ここで、|I|, |J| は、それぞれ I, J の濃度、即ち各集合の要素
の個数を表す。
X から I に対応する行と J に対応する列をとりだして作った
p 次の正方行列を X_(I,J) と書く。 Y_(I,J) も同様。
det(Y_(I,J)) = Σa_(K,L)det(X_(K,L)) となる。
ここで、a_(K,L) は A の元で、
和は K ⊂ {1, ... , m}, L ⊂ {1, ... , n} で
|K| = |L| = p となる K, L の組 (K, L) 全体を動く。
145 ：208：2005/12/01(木) 16:34:55
>>144 の証明
J = {1, ... , p} と仮定する。こうしても一般性を失わない。
x_1, .., x_n は M の生成元だから、
y_1Λ...Λy_p = Σb_(j_1, ..., j_p) x_(j_1)Λ...Λx_(j_p)
となる。ここで、b_(j_1, ..., j_p) ∈ A で、和は j_1 < ... < j_p の
組を動く。
>>140 より det(Y_(I,J)) は y_1Λ...Λy_p を L の基底 f_1, ..., f_m で
展開したときの、f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) の係数である。
ここで、i_1 <...< i_p は I を構成する元である。
det(X_(K,L)) についても同様のことが言える。
{f_(i_1)Λ...Λf_(i_p)} と {e_(i_1)Λ...Λe_(i_p)} は
それぞれ、(Λ^p)L の基底である。
よって、>>143 から >>144 の主張が得られる。
証明終
146 ：208：2005/12/01(木) 16:57:54
命題 A を環、X を A の元を要素とする (m,n)-型の行列 U, V をそれぞれ A の元を要素とする m, n 次の可逆行列とする。 Y = UXV とおく。p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。 Y の p 次の任意の小行列式は、X の p 次の小行列式の一次結合として 表される。
証明 これは >>144 を行列の言葉で書き直したもの。
147 ：208：2005/12/01(木) 17:04:12
>>146 の系
>>146 と同じ条件で、Y の p 次の小行列式全体で生成される A のイデアルは X の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルと 一致する。
証明 Y の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルを I_p(Y) とおく。 同様に、I_p(X) も定義する。 >>146 より、I_p(Y) ⊂ I_p(X) である。 Y = UXV より、 X = U^(-1)YV^(-1) となるから、 再び >>146 より I_p(X) ⊂ I_p(Y) である。 証明終
148 ：208：2005/12/01(木) 18:52:11
>>98 の定理において 1 ≦ p ≦ r のとき 対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] の p次小行列式全体の 最大公約元は、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) に注意すれば a_1...a_p であることがわかる。 よって、>>147 より δ_p = a_1...a_p は X の p次小行列式全体の最大公約元であることが分かる。 δ_p を X の p-次の行列式因子と呼ぶ。 a_p = δ_p/δ_(p-1) となる(δ_0 = 1 とする)。 よって、a_1, ..., a_r は 行列 X により単元の違いを除いて 一意に決まる。 a_1, ..., a_r を 行列 X の単因子と呼ぶ。
149 ：208：2005/12/01(木) 19:06:59
>>148 によっても >>130 の別証が得られるが、これは本質的には >>134 を使った証明と同じだろう。
150 ：208：2005/12/01(木) 19:19:44
>>148 が単因子の由来だろう。つまり、行列式因子 δ_p の因子 ということで。
151 ：１３２人目の素数さん：2005/12/01(木) 19:28:11
>>150 「単」が付いているのは？
152 ：208：2005/12/02(金) 12:24:51
補題 A, B を環で、A ≠ 0, B ≠ 0 とする。 C = A×B とおく。 C は A と B の環としての直積である。 このとき、Spec(C) (前スレの81)は連結ではない。
証明 α: A → C を標準射とする。 α(x) = (x, 0) である。 β: B → C を標準射とする。 β(x) = (0, x) である。 I = α(A), J = β(B) とおく。 I, J は C のイデアルで C = I + J I ∩ J = 0 となる。 よって、 Spec(C) = V(I) ∪ V(J) V(I) ∩ V(J) = φ となる。 I ≠ 0, J ≠ 0 だから、C ≠ I, C ≠ J である。 よって、V(I) ≠ φ, V(J) ≠ φ である。 V(I), V(J) は、Spec(C) の閉集合だから Spec(C) は連結でない。 証明終
153 ：208：2005/12/02(金) 12:25:38
>>151
各 a_i は Y の１次の行列式だし、δ_pはｐ次の行列式だから。 つまり、 a_i は１次⇔単 δ_pはｐ次⇔複 (p > 1 のとき)
154 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 13:39:48
>>153 あほ
155 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 13:47:21
質問者に言えよ。 つまらん質問にはつまらん答えしか返らない
156 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 13:49:10
>つまらん質問にはつまらん答えしか返らない
あほの二乗
157 ：208：2005/12/02(金) 15:41:03
補題 A を環、そのベキ零元根基 Nil(A) が素イデアルなら A は 非自明な環の直積に分解されない。 つまり、 A = B×C, B ≠ 0, C ≠ 0 となる環 B, C は存在しない。
証明 前スレの 208 より Spec(A) は既約であるから、連結でもある。 よって >>152 よりわかる。
158 ：208：2005/12/02(金) 15:53:50
定義 A を環、M ≠ 0 を A-加群とする。 M が非自明な部分加群の直和にならないとき、M を直既約加群という。 つまり、M = N + L (直和) となる部分加群 N ≠ 0, L ≠ 0 が存在 しないことをいう。
159 ：208：2005/12/02(金) 16:54:52
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とすると、 前スレの 709, 710 より、 M は A/(p^k) の形の加群の有限個の直和となる。 ここで、p は A の素元である。 各 A/(p^k) は >>157 より A-加群として直既約である。 前スレの 709 より M のこの分解は同型を除いて一意である。
このことは、Krull-Remak-Schmidt の定理からも分かる。
Krull-Remak-Schmidt の定理 A を環、M を 長さ有限(前スレの288)の A-加群とする。 M は直既約な部分加群の有限個の直和になる。 さらに、この分解は同型を除いて一意的である。
証明 ちょっと程度の高い代数額の教科書には載っているはず。 例えば、古いが、秋月-鈴木の高等代数学Ｉ。 Van der Wearden にもたぶん載ってるだろう。
160 ：208：2005/12/02(金) 17:04:32
単因子論はこのへんで終わりにする。
欲をいうと >>127 の命題の非構成的証明をしたいところだけど ちょっと飽きてきたｗ
161 ：208：2005/12/02(金) 17:11:33
次は、可換環のPicard群や因子類群について述べる。 スキーム論の初歩を仮定する箇所もあるけど、スキーム論を知らない人 は読み飛ばしてかまわない。知らなくてもこのシリーズで扱う 代数的整数論の大筋には影響ない。
162 ：208：2005/12/02(金) 17:29:33
>>152 の逆が言えることを忘れていた。 証明には、スキーム論の初歩を仮定する。 スキーム論を知らない人は読み飛ばしてかまわない。
補題 X を(可環)環付き空間, O_X をその構造層とする。 X が連結でないなら、Γ(X, O_X) の非零元 e_1, e_2 で (e_1)^2 = e_1 (e_2)^2 = e_2 (e_1)(e_2) = 0 1 = e_1 + e_2 となるものが存在する。
証明 X は連結でないから、 X = U ∪ V U ∩ V = φ となる空でない開集合 U, V が存在する。 e_1 ∈ Γ(X, O_X) を e_1|U = 1 e_1|V = 0 となる元とする。このような元の存在と一意性は O_X が層で あることから分かる。 同様に e_2 ∈ Γ(X, O_X) を e_2|U = 0 e_2|V = 1 で定義する。 この e_1 と e_2 が求めるもの。 証明終
163 ：208：2005/12/02(金) 17:38:04
命題 A を環で、Spec(A) は連結でないとする。 このとき、A = B×C となる非自明な環 B, C がある。
証明 >>162 より A の非零元 e_1, e_2 で (e_1)^2 = e_1 (e_2)^2 = e_2 (e_1)(e_2) = 0 1 = e_1 + e_2 となるものが存在する。 Ae_1, Ae_2 は部分環で A = Ae_1 × Ae_2 となる。 証明終
164 ：208：2005/12/02(金) 17:41:12
>>163のスキーム論を使わない証明って出来るのかな？
165 ：208：2005/12/02(金) 17:49:37
>>163 >Ae_1, Ae_2 は部分環で
Ae_1, Ae_2 は環となり
166 ：208：2005/12/02(金) 17:53:54
>>165 を補足すると、このスレでは部分環というのは常に 親の環と単位元を共有するものと仮定している。 だから Ae_1, Ae_2 は A の部分環ではない。
167 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 19:08:55
ﾅﾆをｶｷﾂﾊﾞﾀ
168 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 19:36:25
有限体上の楕円曲線からリーマン麺を作る棚
169 ：１３２人目の素数さん：2005/12/02(金) 19:45:18
>>167 > 荒らしは黙ってろ！ > ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！ > お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！ > 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！
> 荒らしども！ > ありがたく読ませてもらえ！ > まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！
170 ：208：2005/12/05(月) 09:28:25
Hilbertは代数体の３基本定理として以下のものを挙げている。
1) 主整環がDedekind整域となる。 2) Dirichletの単数定理 3) Dedekindのゼータ関数を使った類数公式
これに 4)Dedekindの判別定理 を追加したいところ。
これ等を述べるのがまず当面の目標だ。 今、ちょっと迷っているのは、これ等の証明に絞って 最短距離で行こうかどうかということ。 今までのように悠長にやってると途中で飽きてくる恐れがあるｗ
171 ：208：2005/12/05(月) 09:42:48
話は前後するけど、前スレとこのスレの単因子論はBourbakiのコピー ではない。 主定理(>>117)の証明は、Bourbakiにはない。 前スレの690, 709も単因子論の基本定理だけど、その証明もBoubakiにはない。
172 ：208：2005/12/05(月) 09:49:49
>>171 >その証明もBoubakiにはない。
念のために補足すると、Bourbakiには同様の方法を使った証明が ないという意味。当然、別方法による証明はある。
173 ：208：2005/12/05(月) 10:10:40
>>161 の Picard群に関係してCartier因子の話をしようと思ったけど これを一般のスキーム上に展開するのは結構大変。 EGAの IV-4 の最後の方でやっているように、強有理写像(EGAでは pseudo-morphism)の概念が必要となる。これを扱ってる本は少ない。
174 ：208：2005/12/05(月) 10:58:47
>>159 >Van der Wearden にもたぶん載ってるだろう。
なかった。LangのAlgebraにはあると聞いた(確かめてない)。 いずれにしろ、あの定理の証明はネットに転がってるはず。
175 ：208：2005/12/05(月) 11:07:30
>>170
代数体の絶対判別式の絶対値が１とはならないというMinkowskiの 定理も著しい。これの代数的証明ってあるのかな？
176 ：206：2005/12/05(月) 13:39:48
定義 A を環、M を A-加群とする。 完全列 L_1 → L_2 → M → 0 が存在するとき、M を有限表示を持つ加群、または強有限生成という。 ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。
177 ：206：2005/12/05(月) 13:53:01
補題 A を環、 A-加群の完全列 0 → K → M → N → 0 において、K, N が有限生成なら M も有限生成である。
証明 読者に任す。
178 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 14:21:27
>>169 いちいち反応するのがかわゆいね
179 ：206：2005/12/05(月) 14:21:43
命題 A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。 完全列 0 → K → L → M → 0 において、L は有限生成の A-自由加群とすれば、 K は有限生成となる。
証明 仮定より、完全列 L_1 → L_2 → M → 0 がある。 ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。 次の可換図式が存在する。 L_1 → L_2 → M → 0 | ｜ ｜ v v v 0 → K → L → M → 0
snake lemma より 0 → Coker(L_1 → K) → Coker(L_2 → L) → 0 は完全である。 Coker(L_2 → L) は有限生成だから、Coker(L_1 → K) も有限生成。
完全列 L_1 → K → Coker(L_1 → K) → 0 において、Im(L_1 → K) は有限生成だから、>>177 より K も有限生成である。 証明終
180 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 14:27:10
>>179
snake lemma については既知と仮定した。それがどういう補題か というのはネットに転がってるだろう。証明はいわゆる diagram chase でほとんど機械的に出来る。
181 ：208：2005/12/05(月) 14:46:08
定義 A を環、M を A-加群とする。 関手 T(N) = M(x)N が完全のとき M を平坦加群という。 つまり、A-加群の完全列 0 → E → F → G → 0 に対して 0 → M(x)E → M(x)F → M(x)G → 0 も完全になること。
182 ：208：2005/12/05(月) 15:20:51
命題 A を局所環、M を有限表示を持つ平坦な A-加群とする。 このとき、M は自由である。
証明 A の極大イデアルを m とし、k = A/m とおく。 M/mM = k(x)M の k 上の基底 を x_1 (mod mM), ..., x_n (mod mM) とし、N = Ax_1 + ... + Ax_n とする。 M の任意の元 x は N の元と mod mM で等しいから M = mM + N である。 よって、m(M/N) = (mM + N)/N = M/N となる。 中山の補題(前スレの242)より、M/N = 0 つまり M = N となる。 L = A^n を階数 n の自由加群とし、その基底を e_1, ..., e_n とする。 各 e_i に x_i を対応させる ことにより、A-加群としての全射 f: L → M が得られる。 Ker(f) = K とおく。
次の可換図式において、 m(x)K → m(x)L → m(x)M → 0 ｜ ｜ ｜ ｖ ｖ ｖ 0 → K → L → M → 0
M は平坦だから、m(x)M → M は単射である(M = A(x)M と見なす)。 よって snake lemma より、 0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0 は完全となる。 L → M の定義から、L/mL → M/mM は同型である。 よって K/mK = 0 となる。>>179 より K は有限生成だから、 中山の補題より K = 0 となる。 証明終
183 ：208：2005/12/05(月) 15:31:11
ホモロジー代数の初歩を既知とすれば、>>182 の別証が 以下のように得られる。
>>182 の完全列 0 → K → L → M → 0 より、Torのホモロジー完全列 → Tor^1(k, M) → k(x)K → k(x)L → k(x)M → 0 が得られるが、M は平坦だから、Tor^1(k, M) = 0 である。 よって、 0 → k(x)K → k(x)L → k(x)Mは完全となる。 つまり、 0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0 は完全となる。 これから後は >>182 と同じ。
184 ：208：2005/12/05(月) 15:55:55
>>181 と同様に、
定義 A を環、M を A-加群とする。 関手 T(N) = Hom(M, N) が完全のとき M を射影加群という。 つまり、A-加群の完全列 0 → E → F → G → 0 に対して 0 → Hom(M, E) → Hom(M, F) → Hom(M, G) → 0 も完全になること。
185 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 15:58:49
>勉強も大切だが、心も磨けよ
以下は負け犬の常套句
・勉強も大切だが、 ・仕事も大切だが、 ・金も大切だが、 ・顔がいくら良くっても...
186 ：208：2005/12/05(月) 16:00:34
命題 A を環、M を A-加群とする。 M が射影加群であることは自由加群の直和因子であることと同値である。
証明 よく知られているし簡単なので、読者に任す。
187 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 16:09:18
ねえねえバナナとリンゴどっちが好き？
188 ：208：2005/12/05(月) 16:23:32
命題 射影加群は平坦である。
証明 >>186より。
189 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 16:24:41
ねえねえねえバナナとリンゴどっちが好き？
190 ：208：2005/12/05(月) 16:25:52
命題 有限生成射影加群は有限表示を持つ。
証明 >>186より明らか。
191 ：208：2005/12/05(月) 16:28:18
命題 A を局所環、M をA-加群で有限生成かつ射影的とする。 このとき、M は自由である。
証明 >>188, >>190 と >>182 より出る。
192 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 16:30:42
さむいね
193 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:00:17
>>192 そうかい。 ぼくはパプアニューギニアにいるから暑くてかなわん。 でも昨夜は南十字星がきれいに見えたよ。
194 ：208：2005/12/05(月) 17:02:30
ここでは、環 A 上の有限生成射影加群が Spec(A) 上の ベクトルバンドルに対応することを言いたいわけ。 射影加群というのは Cartan-Eilenbergが最初に定義した。 このとき、彼等はこの事実を知っていたかどうか。 勿論、A が体上の有限生成代数という古典的な代数幾何の場合の話。 たぶん、知らなかったのではないか。 SerreのFAC(1955年)では、言及されている。
195 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:05:19
そんなバナナ
196 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:11:07
ねえねえねえねえバナナとリンゴどっちが好き？
197 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:12:27
(ねえ)^4とかした方がいい。
198 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:32:18
ねぇーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー バナナとリンゴどっちがイチゴ？
199 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:47:12
東京タワーと富士山
どっちが東京タワー？
200 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 17:49:13
>>194 ところでアファイン空間上のベクトル束が 自明だというのは、191でAを多項式環に 置き換えた命題になるわけですが、たしか QuillenとSuslinが独立に示した結果でしたね。 これは大分前の話ですが、現在では簡単な証明が知られているのでしょうか？
