整数の性質 - StudyPlace | 受験突破のための全ての知を体系化したwiki

設問１

ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、クは、1〜8の整数であり、すべて異なるものとする。ア×イ×ウ×エ×オ＋カ×キ×クを計算したら、その結果は素数となった。この素数の値を求めよ。

解説１

答えは素数なので、少なくとも奇数であることが必要である。すると、
ア×イ×ウ×エ×オ・・・①
カ×キ×ク・・・②
とすれば、ア〜クの中に少なくとも偶数が4回出てくることから、①、②の少なくとも片方は偶数となる。
しかし、①も②も偶数だとその和も偶数となり、素数にならないため、片方が偶数であることが必要である。
偶数は必ず2の倍数の積である必要があり、奇数は2の倍数を因数に持ってはならない。この時点で、2、4、6、8はすべて同時にかけ合わせるしかなくなるので、3つの数字の積で構成される②には当てはまらない。
ところが①は5つの数字の積で構成されるため、もう1つ数字が必要。
そこで、1,3,5,7のどれを追加でかけ合わせるかを考えるが、ここで、①が偶数であると同時に3の倍数にもなっていることに注目する。（6が因数に入っているため。）
すると、3を②に入れてしまった場合、①も②も3の倍数であるため、その和も3の倍数となってしまい、素数であることに反する。
そのため、3は①に入れるしかない。
よって、①＝2×4×6×8×3＝2^7×9＝128×9＝128×(10−1)＝1280−128＝1152、②＝1×5×7＝35となり、①＋②＝1187となり、これが答えである。